니스네비치 위상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''니스네비치 위상'''(Нисневич位相, {{llang|en|Nisnevich topology}})은 [[에탈 위상]]과 비슷하지만, 이와 달리 체의 [[갈루아 이론]] ([[에탈 기본군]])을 관찰하지 않도록 하여 [[체 (수학)|체]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]의 코호몰로지가 자명하게 만든 [[그로텐디크 위상]]이다.

== 정의 ==
'''니스네비치 사상'''(Нисневич寫像, {{llang|en|Nisnevich morphism}})은 다음 조건을 만족시키는 [[에탈 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.
* 모든 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>이자 유도 준동형 <math>f^*\colon \kappa(y)\to\kappa(x)</math>가 체 동형을 이루는 <math>x\in X</math>가 존재한다.
여기서
:<math>\kappa(x)=\frac{\mathcal O_{X,x}}{\mathfrak m(\mathcal O_{X,x})}</math>
는 [[줄기 (수학)|줄기]] [[국소환]]의 [[잉여류체]]이다. 또한, <math>x</math>나 <math>y</math>는 닫힌 점이 아닐 수 있다.

같은 [[공역]]을 갖는 [[스킴 사상]]들의 집합
:<math>\{f_i\colon X_i\to Y\}_{i\in I}</math>
이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''니스네비치 덮개'''(Нисневич-, {{llang|en|Nisnevich cover}})라고 한다.
* 모든 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f_i(x)=y</math>이자 유도 준동형 <math>f_i^*\colon\kappa(y)\to\kappa(x)</math>가 체 동형을 이루는 <math>i\in I</math> 및 <math>x\in X_i</math>가 존재한다.
만약 <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면, 이는 <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}f_i\colon\sqcup_{i\in I}X_i\to Y</math>가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.

니스네비치 덮개들은 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 준위상]]을 이룬다. 니스네비치 위상을 부여한 스킴의 범주를 '''니스네비치 위치'''(Нисневич位置, {{llang|en|Nisnevich site}})라고 하며, <math>\operatorname{Nis}</math>라고 표기한다.

=== 작은 니스네비치 위치와 큰 니스네비치 위치 ===
[[에탈 위상]]과 마찬가지로, 니스네비치 위치의 경우 작은 위치와 큰 위치를 정의할 수 있다. 스킴 <math>X</math>에 대하여, '''큰 니스네비치 위치'''(-Нисневич位置, {{llang|en|gros/big Nisnevich site}}) <math>\operatorname{Nis}/X</math>는 <math>X</math>에 대한 [[조각 범주]]이다.

스킴 <math>X</math>에 대하여, '''작은 니스네비치 위치'''(-Нисневич位置, {{llang|en|petit/small Nisnevich site}}) <math>\operatorname{nis}/X</math>는 대상을 <math>X</math>를 공역으로 하는 [[에탈 사상]]으로 가지며, 이와 가환되는 스킴 사상을 사상으로 가지는 [[범주 (수학)|범주]]이다. 그 위의 [[그로텐디크 준위상]]은 니스네비치 덮개이다.

== 성질 ==
<math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 위상]]으로서, 니스네비치 위상은 [[자리스키 위상]]보다 더 섬세하지만 [[에탈 위상]]보다 더 엉성하다. 즉, <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 위상]]을 섬세한 순서대로 정렬하면 다음과 같다.
:비이산 위상 → [[자리스키 위상]] → 니스네비치 위상 → [[에탈 위상]] → [[fppf 위상]] → [[fpqc 위상]] → 표준 위상 → 이산 위상

[[체 (수학)|체]]의 니스네비치 코호몰로지는 모두 자명하다. (반면, 체의 [[에탈 코호몰로지]]는 일반적으로 자명하지 않다.)

[[에탈 위상]]에서 "줄기"가 [[순 헨젤 국소환]]인 것처럼, 니스네비치 위상에서 "줄기"는 [[헨젤 국소환]]이다.

스킴의 [[대수적 K이론]]은 니스네비치 위상에 대하여 [[내림 이론|내림]]을 만족시키지만,<ref name="Nisnevich"/> 이는 더 섬세한 [[에탈 위상]]에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

== 역사 ==
예브세이 니스네비치({{llang|ru|Евсей А. Нисневич}})가 [[대수적 K이론]]에 사용하기 위하여 도입하였다.<ref name="Nisnevich">{{서적 인용
 | first = Yevsey A.
 | last = Nisnevich
 | 날짜 = 1989
 | 장 = The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic K-theory
 | 제목 = Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7–11, 1987 | 총서= NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences|권= 279 | issn= 1389-2185
 | editor1-first = J. F.|editor1-last= Jardine |editor2-first= V. P. |editor2-last=Snaith
 | publisher = Kluwer | isbn= 978-94-010-7580-0
 | pages = 241–342 | 언어=en | doi= 10.1007/978-94-009-2399-7_11 | 장url=http://www.cims.nyu.edu/~nisnevic/articles/NT1.pdf
}}</ref> 이후 이는 [[블라디미르 보예보츠키]]에 의하여 [[A1 호모토피 이론|<math>\mathbb A^1</math> 호모토피 이론]]<ref>{{저널 인용 | last1=Morel | first1=Fabien | last2=Voevodsky | first2=Vladimir | author2-link=블라디미르 보예보츠키 | title='''A'''<sup>1</sup>-homotopy theory of schemes | url=http://archive.numdam.org/article/PMIHES_1999__90__45_0.pdf | mr=1813224 | year=1999 | journal=Publications Mathématiques de l’IHÉS | issue=90 | pages=45–143 | doi=10.1007/BF02698831 | volume=90|issn= 0073-8301|언어=en}}</ref> 및 [[모티브 (수학)|모티브 이론]]에 응용되었다.

== 같이 보기 ==
* [[헨젤 환]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Nisnevich site}}

{{전거 통제}}

[[분류:스킴 이론]]