뉴턴의 부등식 문서 원본 보기

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'''뉴턴의 부등식'''(Newton's inequalities, -不等式)은 [[영국]]의 [[물리학자]]이자 [[수학자]]인 [[아이작 뉴턴|아이작 뉴턴 경]]이 제시한 [[부등식]]이다. 간단히 말해서, 이 부등식은 기본대칭평균의 [[로그]] 값이 [[오목성]]을 띤다는 내용이다.

== 기본대칭평균 ==
뉴턴의 부등식을 이해하기 위해서는 '''기본대칭평균'''의 개념을 이해할 필요가 있다. 이 개념은 다음과 같의 정의할 수 있다.<ref>류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 86쪽.</ref>

# 어떤 n개의 임의 [[실수]] <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> 가 주어졌을 때, [[다항식]] <math>\prod_{i=1}^{n} (x+a_i)</math>에서 <math>x^{n-i}</math> 의 계수를 i-번째 '''기본대칭함수'''라 하고, <math>\sigma_i</math> 로 쓴다.
# 이때, i-번째 기본대칭평균 <math>S_i</math>는 <math>S_i := \frac{\sigma_i}{\binom{n}{i}}</math> 로 정의한다.

== 공식화 ==
위와 같은 기본대칭평균 개념을 이용하여, 임의의 실수 <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> 에 대하여 이 기본대칭평균을 <math>S_0, S_1, ..., S_n</math> 이라 할 때 뉴턴의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.<ref>같은 책, 87쪽.</ref>

* 모든 <math>n> i , i \in N</math>에 대하여 <math>S_{i-1}S_{i+1} \le S_i^2</math>

== 같이 보기 ==
* [[매클로린의 부등식]]
* [[뮤어헤드의 부등식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008

[[분류:부등식]]
[[분류:대칭함수]]
[[분류:아이작 뉴턴]]