뉴시스 작도 문서 원본 보기

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'''뉴시스 작도'''({{llang|en|Neusis construction}})는 눈금있는 자를 이용한 작도를 말한다. 뉴시스 작도는 [[삼차 방정식]]을 풀 수 있으므로 세제곱근이 등장하는 삼차방정식의 해를 구해야 하는 [[각의 3등분]]과 [[입방 배적 문제]]를 풀 수 있다. 고대 그리스인들은 뉴시스 작도를 이용해 정[[칠각형]], 정[[구각형]], 정[[십삼각형]]을 작도할 수 있었다.

== 다각형 작도 ==
뉴시스 작도를 이용하면 각의 3등분을 할 수 있으므로, <math>2^u 3^v</math> 각형은 모두 작도가 가능하고, 소수각형 p각형에 대해 p가 n이 <math>2^{2^n} + 1</math> 꼴로 나타낼 수 있는 [[페르마 소수]] 이거나 <math>2^u 3^v + 1</math> 꼴로 나타낼 수 있는 [[피어폰트 소수]]인 경우에 뉴시스 작도가 가능하다. <math>2^u 3^v 5^w + 1</math> 꼴이 아닌 경우 뉴시스 작도가 불가능하다. <math>5^w</math> 각형과, 11각형이 아닌 <math>p= 2^u 3^v 5^w + 1</math> 꼴(p>11)의 소수각형은 작도 가능 여부를 알 수 없다. 11각형의 뉴시스 작도법은 현대인 2014년에 발견되었다.

''n''이 아래와 같으면 뉴시스 작도가 가능하다.
:3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 129 , 130 ... {{OEIS|id=A122254}}, [[각의 3등분]]을 이용해 작도 가능한 다각형에 Benjamin과 Snyder가 정[[십일각형]]이 뉴시스 작도가 가능하다는 사실을 밝힌 것을 반영해 수정<ref>BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753</ref>

다음 다각형은 뉴시스 작도가 불가능하다.
:23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, ... {{OEIS|id=A048136}}, 같은 식으로 편집됨

아래 다각형은 뉴시스 작도가 가능한지 밝혀지지 않았다.
:25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, ...

== 뉴시스 작도를 이용해서 [[각의 3등분|각을 3등분]]하기 ==

[[파일:Trisecting_angles_three.svg|섬네일|뉴시스 작도를 이용해서 각을 3등분한 모습]]

뉴시스 작도를 이용해서 각을 3등분 하는 방법은 다음과 같다.

* 1. 주어진 각을 중심으로 하는 원을 그리고 원의 반지름의 길이를 눈금으로 표기한다.
* 2. 주어진 각의 반대방향으로 반직선 BD를 그린다.
* 3. 원 위의 있는 각의 한 점 A와 점 D를 잇는 선분 AD를 그린다. 이때 선분 AD와 원의 교점인 점 C와 반직선 BD 위에 있는 점 D를 잇는 선분 CD의 길이가 반지름의 길이와 같아야 한다.

위의 과정에서 삼각형 BCD는 <math>\overline{BC} = \overline{CD}</math>인 [[이등변 삼각형]]이고, 삼각형 ABC는 <math>\overline{AB} = \overline{BC}</math>인 [[이등변 삼각형]]이다. 따라서, <math>c = 2b</math>이고, <math>a = b + c</math> 이므로 <math>a = 3b</math>이다.

== 뉴시스 작도를 이용해서 [[입방배적문제|주어진 선분의 <math>\sqrt[3]{2}</math>배 길이]] 작도하기 ==

[[파일:Doubling_the_cube.svg|섬네일|뉴시스 작도를 이용해서 주어진 선분의 <math>\sqrt[3]{2}</math>배 길이를 구한 모습]]

뉴시스 작도를 이용해서 주어진 선분의 <math>\sqrt[3]{2}</math>배 길이를 작도하는 방법은 다음과 같다.

* 1. 원 3개를 이용해서 정삼각형 ABC를 작도한다.
* 2. 정삼각형의 한 변의 길이를 눈금으로 표기하고, 정삼각형의 꼭짓점 B에서 정삼각형의 반대 방향으로 정삼각형의 한 변의 길이만큼 연장해 선분 BD를 그린다.
* 3. 정삼각형의 꼭짓점 C에서 정삼각형과 반대 방향으로 뻗어나가는 반직선 CE를 그린다.
* 4. 점 D와 점 C를 잇는 반직선 DF를 그린다.
* 5. 반직선 CE 상에 있는 점 H와 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A를 잇는 선분 AH를 그린다. 이때 반직선 DF와 선분 AH의 교점인 G와 H를 잇는 선분 GH의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이와 같아야 한다.

이 과정을 통해 작도되는 선분 AG의 길이는 정삼각형의 한 변의 길이의 <math>\sqrt[3]{2}</math>배 길이이다.

== 같이 보기 ==
* [[각의 3등분]]
* [[피어폰트 소수]]
* [[곱자]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:유클리드 평면기하학]]