뇌터 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Noether theorem 1st page.png|200px|섬네일|뇌터 정리 출판한 첫 페이지]]
[[수리물리학]]에서 '''뇌터의 정리'''(-定理, {{llang|en|Noether's theorem}})란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 [[에미 뇌터]]가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.<ref>{{저널 인용| 저자링크=에미 뇌터|성=Noether|이름=Emmy | 연도 = 1918 | 제목 = Invariante Variationsprobleme | 저널 = {{lang|de|Nachrichten von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse}} | 쪽 = 235–257 |url=https://de.wikisource.org/wiki/Invariante_Variationsprobleme |언어=de}}</ref> 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 [[라그랑주 역학|라그랑지안 함수]]의 시간적분(또는 [[라그랑주 역학|라그랑지안 밀도 함수]]의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 [[이론물리학]]의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 [[라그랑주 역학]], [[양자장론]] 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 [[계 (물리학)|계]]에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, [[마찰]]이나 [[점성]]이 있는 계의 경우 [[레일리 발산 함수]]({{lang|en|Rayleigh dissipation function}})를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 [[보존 법칙]]이 존재하지 않을 수도 있다.

== 장론에서의 뇌터 정리 ==
어떤 대칭에 의하여 장과 [[시공]] 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.
:<math>x'^\mu=x^\mu+\delta_\epsilon x^\mu</math>
:<math>\phi'(x')=\phi(x)+\delta_\epsilon\phi(x)=\phi(x')+\delta_\epsilon\phi(x')-\partial_\mu\phi(x')\delta_\epsilon x^\mu(x')</math>
만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.
:<math>\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\partial_\mu(\epsilon J^\mu(x)-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L(x))</math>
(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 <math>J=0</math>이 된다.) 이제
:<math>\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\left(\frac{\partial L}{\partial\phi}+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu
+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\partial_\mu\partial_\nu
+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho
+\cdots
\right)\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)</math>
::<math>=\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\right)
+\partial_\mu\left(\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right)
-\partial_\mu\left(\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right)
+\cdots
</math>
이다. 여기서
:<math>\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}
+\partial_\mu\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
-\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}
+\cdots</math>
는 [[변분법|변분]]이다. 따라서,
:<math>\epsilon j^\mu=
J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
-\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots</math>
::<math>=J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)
-\partial_\nu\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots</math>
로 정의한다면
:<math>\epsilon\partial\cdot j=-\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)</math>
이 된다. [[오일러-라그랑주 방정식]]을 따르는 경로의 경우 <math>\delta\mathcal L/\delta\phi=0</math>이므로, 이러한 경로에서는 <math>j^\mu</math>가 보존류를 이루며, 다음과 같은 [[보존 법칙|보존량]]이 존재한다.
:<math>Q=\int j^0(x)\;d^3x</math>

== 역학에서의 뇌터 정리 ==
고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,
:<math>\partial_\mu\mapsto\frac d{dt}</math>
:<math>x^\mu\to t</math>
로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환
:<math>q'(t')=q(t)+\delta_\epsilon q(t)</math>
:<math>t'=t+\delta_\epsilon  t</math>
에 대하여, 라그랑지언 <math>L(q,\dot q,\ddot q,\dots,t)</math>가
:<math>L[q'(t),t]-L[q,t]=-\dot L\delta t+\epsilon\dot J</math>
를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량
:<math>Q=J-\delta_\epsilon t\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial\dot q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right)
-\frac d{dt}\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q}
+\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac d{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q}
+\cdots</math>
은
:<math>\dot Q=-\frac{\delta L}{\delta q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right)</math>
이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 <math>q(t)</math>에 대하여 보존된다.

== 뇌터 보존량의 예 ==
흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 대칭 !! 보존류 !! 보존량
|-
| 시공간 병진 대칭 <math>\delta x^\mu=\delta^\mu_\nu</math> || [[에너지-운동량 텐서]] <math>T^\mu{}_\nu</math> || [[4차원 운동량]] ([[에너지]], [[운동량]])
|-
| 회전 대칭 <math>\delta x^\mu=\delta^\mu_\nu x_\rho-\delta^\mu_\rho x_\nu</math> || 4차원 각운동량 밀도 <math>T^\mu{}_\nu x_\rho-T^\mu{}_\rho x_\nu</math> || 4차원 각운동량 (3차원 각운동량 <math>\mathbf L</math>, 총 에너지와 [[질량 중심]]의 초기 위치의 곱<ref>{{웹 인용|이름=John|성= Baez | url=http://math.ucr.edu/home/baez/boosts.html|제목=Symmetry under boosts gives what conserved quantity?|날짜=2006-03-04|언어=en}}</ref> <math>t\mathbf p-\mathbf x_{\text{com}}E</math>)
|-
| 확대 변환 <math>\delta x^\mu=x^\mu</math> || 확대류<ref>{{저널 인용|저널=Annals of Physics|권=59|호=1|날짜=1970-07|쪽=42–73|제목=A new improved energy-momentum tensor|이름=Curtis G., Jr.|성=Callan|저자링크=커티스 캘런|공저자=[[시드니 콜먼|Sidney Coleman]], Roman Jackiw|doi=10.1016/0003-4916(70)90394-5|언어=en}}</ref> <math>T^\mu{}_\nu x^\nu</math> || <math>tE-\iiint dV\,\mathbf x\cdot \frac{d\mathbf p}{dV}</math> (즉, <math>E=\frac d{dt}\iiint dV\,\mathbf x\cdot d\mathbf p/dV</math>)
|-
| 특수 [[등각 대칭|등각 변환]] <math>\delta x^\mu=x^2\delta^\mu_\nu-2x^\mu x_\nu</math> || <math>T^\mu{}_\rho(x^2\delta^\rho_\nu-2x^\rho x_\nu)</math> || 
|-
| 전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: <math>\delta_\epsilon\phi=i\phi</math>) || 4차원 전류 밀도 <math>j_\mu=\phi^*\partial_\mu\phi</math> || 전하
|-
| 복소 페르미온 회전 <math>\delta_\epsilon\psi=i\psi</math> || 페르미온 수 보존류 <math>\bar\psi i\gamma^\mu\psi</math> || 페르미온 수
|-
| [[파동 함수]] 회전 <math>\delta_\epsilon\Psi=i\Psi</math> || 확률류 <math>(|\Psi|^2,\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*))</math> || 1 (=가능한 확률의 합)
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목={{lang|en|Currents and the energy-momentum tensor in classical field theory: a fresh look at an old problem}}|저널={{lang|en|Annals of Physics}}|권=309|호=2|날짜=2004-02|쪽=306–389|이름=Michael|성=Forger|공저자=Hartmann Römer|doi=10.1016/j.aop.2003.08.011|arxiv=hep-th/0307199|언어=en}}
* {{서적 인용 | last = Kosmann-Schwarzbach | first = Yvette | title = The Noether theorems: invariance and conservation laws in the twentieth century | url = https://archive.org/details/noethertheoremsi0000kosm | publisher = Springer | series = Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | year = 2010 | isbn = 978-0-387-87867-6 | 언어=en}}
* {{서적 인용|성=Lanczos |이름=C. | 날짜 = 1970 | title = The variational principles of mechanics | edition = 4판 | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-65067-7 | 언어=en}}
* {{서적 인용| last = Olver | first = Peter | title = Applications of Lie groups to differential equations | publisher = Springer | edition = 2판 | series = Graduate Texts in Mathematics | 권 = 107 | 날짜 = 1993 | isbn = 0-387-95000-1 |zbl=0785.58003|doi=
    10.1007/978-1-4684-0274-2|언어=en}}
* {{서적 인용|장=E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws|이름=Nina|성=Byer|제목=The Heritage of Emmy Noether|총서=Israel Mathematical Conference Proceedings|권=12|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=imcpseries&ikey=IMCP-12|날짜=1999|장url=http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.asg/noether.html|언어=en}}
* {{서적 인용|장=The impact of Emmy Noether's theorems on XXIst century physics|이름=Yuval|성=Ne'eman|제목=The Heritage of Emmy Noether|총서=Israel Mathematical Conference Proceedings|권=12|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=imcpseries&ikey=IMCP-12|날짜=1999|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[라그랑주 역학]]
* [[워드-다카하시 항등식]]
* [[해밀턴-야코비 방정식]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Noether theorem}}
* {{매스월드|id=NoethersSymmetryTheorem|title=Noether's Symmetry Theorem}}
* {{웹 인용|제목=가장 위대한 여성 수학자: 뇌터|웹사이트=Physics and Fun|url=http://extrad.egloos.com/1885598|저자=박성찬|날짜=2009-03-23|언어=ko|확인날짜=2014-07-05|archive-date=2014-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20140714151026/http://extrad.egloos.com/1885598|url-status=}}

[[분류:대칭]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:변분법]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:이론물리학]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:보존 법칙]]