뇌터 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서, '''뇌터 군'''({{llang|en|Noetherian group}})은 [[부분군]]들이 [[오름 사슬 조건]]을 만족시키는 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 군을 '''뇌터 군'''이라고 한다.
* <math>G</math>의 [[부분군]] [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(G)</math>는 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다.
* <math>G</math>의 모든 [[부분군]]은 [[유한 생성 군]]이다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
뇌터 군의 [[부분군]]·[[몫군]]은 뇌터 군이다. 뇌터 군의 뇌터 군에 의한 [[군의 확대|확대]]는 뇌터 군이다.

=== 뇌터 가해군 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 군을 '''다순환군'''({{llang|en|polycyclic group}})이라고 한다.<ref name="Robinson" />{{rp|165}}
* [[가해군]]이며, 뇌터 군이다.
* 모든 <math>i=0,\dots,n-1</math>에 대하여 <math>G_i\vartriangleleft G_{i+1}</math>이며 <math>G_{i+1}/G_i</math>가 [[순환군]]인, 부분군의 열 <math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G</math>가 존재한다.

[[멱영군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Robinson" />{{rp|145}}
* 뇌터 군이다.
* [[유한 생성 군]]이다.

== 예 ==
모든 [[유한군]]은 뇌터 군이다. 모든 [[유한 생성 군|유한 생성]] [[멱영군]]은 뇌터 군이다.<ref name="Robinson">{{저널 인용
|이름=Derek S.
|성=Robinson
|제목=Joins of subnormal subgroups
|언어=en
|저널=Illinois Journal of Mathematics
|권=9
|쪽=144–168
|날짜=1965
|issn=0019-2082
|mr=0170953
|zbl=0135.04805
}}</ref>{{rp|145}}

다순환군의 [[유한군]]에 의한 [[군의 확대|확대]]는 뇌터 군이다. 그 역은 성립하지 않는다. 즉, [[부분군의 지표|지표]]가 유한한 다순환 [[정규 부분군]]을 갖지 않는 뇌터 군이 존재한다. 그러나 이러한 반례의 구성은 매우 복잡하다.

== 역사 ==
[[에미 뇌터]]의 이름을 땄다. 다순환군의 [[유한군]]에 의한 [[군의 확대|확대]]가 아닌 뇌터 군은 알렉산드르 유리예비치 올샨스키({{llang|ru|Александр Юрьевич Ольшанский}})가 1979년 논문에서 처음 구성하였다.<ref name="Ольшанский">{{저널 인용
|url=https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1758&option_lang=rus
|이름1=А. Ю.
|성1=Ольшанский
|제목=Бесконечная простая нётерова группа без кручения
|언어=ru
|저널=Известия Академии наук СССР. Серия математическая
|권=43
|호=6
|쪽=1328–1393
|날짜=1979
|issn=0373-2436
|doi=10.1070/IM1980v015n03ABEH001268
|mr=0567039
|zbl=0431.20027
}}</ref><ref name="Ol'šanskiĭ">{{저널 인용
|url=https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1758&option_lang=eng
|이름1=A. J.
|성1=Ol'šanskiĭ
|제목=An infinite simple Noetherian group without torsion
|언어=en
|저널=Mathematics of the USSR-Izvestiya
|권=15
|호=3
|쪽=531–588
|날짜=1980
|issn=0025-5726
|doi=10.1070/IM1980v015n03ABEH001268
|mr=0567039
|zbl=0431.20027
}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Noetherian group}}
* {{eom|제목=Polycyclic group}}
* {{Groupprops|제목=Noetherian group}}
* {{Groupprops|제목=Polycyclic group}}

[[분류:군론]]