놈 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, 특히 [[타원 함수]]의 이론인 '''놈'''(nome)은 특별한 함수이며 다음과 같이 주어진다.

:<math>q=e^{-\frac{\pi K'}{K}}=e^{\frac{{\rm{i}}\pi\omega_2}{\omega_1}}
=e^{{\rm{i}} \pi \tau} \, </math>

여기서 <math>K</math> 와 <math>i K'</math>는 <math>1/4 </math>기간(주기) 이고, <math>\omega_1</math> 과 <math>\omega_2 </math>는 기본 기간 쌍이다. 표기상, <math>1/4</math> 기간<math> K</math> 와 <math>i K '</math>는 [[야코비 타원 함수]]의 문맥에서만 일반적으로 사용되는 반면, 절반 기간([[반기(타원함수)|반기]],<math>1/2 </math>주기)  <math>\omega_1</math> 과 <math>\omega_2</math>는 보통 [[바이어슈트라스 타원 함수|바이어슈트라스(Weierstrass) 타원 함수]]의 맥락에서만 사용된다. 일부 저자들은 <math>\omega_1</math> 과 <math>\omega_2</math>를 사용하여 반기가 아닌 전체 기간(주기,구간)을 나타낸다.

== 기본 설명 ==
놈(nome)은 타원 함수와 모듈 형식을 설명 할 수 있는 값으로 자주 사용된다. 반면에 <math>1/4 </math>주기는 타원 계수의 함수이기도 하기 때문에 함수로 생각할 수도 있다. 이러한 모호함은 타원 계수의 실제 값에 대해 <math>1/4 </math>주기를 따라서 놈이 고유하게 결정되기 때문에 발생한다.

함수 <math>\tau = {{i K '}\over{ K}} = {{\omega_2 }\over {\omega_1}}</math> 은 종종 타원 함수의 두 절반주기(반기) <math>\omega_1</math> 과 <math>\omega_2</math> 의 비율이므로 반주기 비율이라고도 한다.

보완적인 <math>n1</math> 은 다음과 같이 주어진다.

:<math>q_1=e^{-\frac{\pi K}{K'}} </math>

그러나 일부 출처는 관습에 따라 다음을 그대로 사용하기도 한다. <math>q=e^{{2\rm{i}} \pi \tau}</math> 또는 <math>q=e^{{2\rm{i}} \pi z}</math>

놈(nome)에 대한 추가 정의 및 관계에 대해서는 [[분기 (타원함수)|분기]](<math>1/4 </math>주기) 및 [[타원 적분]]에 대한 항목을 참조할 수 있다.

== 정의 ==
변수에 대한 함수로 타원 놈은 다음과 같이 정의된다:
:<math>q(x) = \exp\bigl[-\pi\,K(\sqrt{1 - x^2})\,K(x)^{-1}\bigr] </math>
그리고 제1종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다:
:<math>K(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \sin(\varphi)^2}} \,\mathrm{d}\varphi </math>
:<math>K(\varepsilon) = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{(w^2 + 1)^2 - 4\,\varepsilon^2 w^2}} \,\mathrm{d}w </math>
두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다.

== 무한급수 ==
놈 기능의 무한 시리즈는 다음과 같이 표시될 수 있다:
:<math>q(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Kt}(n)}{16^n}\,x^{2n} </math>
이 무한급수의 수렴 반경은 1이다. 여기서 <math>\text{Kt}(n) </math> (OEIS A005797)는 배타적으로 자연수 <math>\text{Kt}(n) \isin \mathbb{N} </math> 의 시퀀스다. 모든 자연수 <math>n \isin \mathbb{N} </math>에 대해 이 정수 시퀀스는 기본적으로는 아니다. 정수열 Kt(n)의 정의는 다음과 같다:
:<math>\text{Kt}(1) = 1 </math>
:<math>\text{Kt}(n+1) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k\,\text{Kt}(k)[16\,\text{Ap}(n+1-k) - \text{Ap}(n+2-k)] </math>
:<math>\text{Ap}(n) = \sum_{a = 0}^{n-1} \binom{2a}{a}^2 \binom{2n-2-2a}{n-1- a}^2 </math>
이 정수열 ''<math>\text{Kt}(n)</math>''는 1956년에 태어난 체코 수학자이자 체스 [[작곡가]] Václav Kotěšovec에 의해 연구되었다. 특별히 수정된 Apéry 시퀀스(OEIS A036917)를 나타내는 정수 시퀀스 ''<math>\text{Ap}(n)</math>''를 추가함으로써 Kotěšovec 시퀀스 숫자 ''<math>\text{Kt}(n)</math>''를 생성할 수 있다. 시퀀스 ''<math>\text{Kt}(n)</math>''의 시작 값은 ''<math>\text{Kt}(1)=1</math>'' 값이고 이 시퀀스의 다음 값은 모든 숫자 <math>n \isin \mathbb{N}</math>에 유효한 두 수식으로 생성된다. 다음 표는 일련 번호를 보여준다:
{| class="wikitable"
!위치 n
!정수 시퀀스의 수 Ap(n)
!정수 시퀀스의 수 Kt(n)
|-
|1
|1
|1
|-
|2
|8
|8
|-
|3
|88
|84
|-
|4
|1088
|992
|-
|5
|14296
|12514
|-
|6
|195008
|164688
|-
|7
|2728384
|2232200
|-
|8
|38879744
|30920128
|-
|9
|561787864
|435506703
|-
|10
|8206324928
|6215660600
|-
|11
|120929313088
|89668182220
|-
|12
|1794924383744
|1305109502496
|-
|13
|26802975999424
|19138260194422
|-
|14
|402298219288064
|282441672732656
|-
|15
|6064992788397568
|4191287776164504
|-
|16
|91786654611673088
|62496081197436736
|-
|17
|1393772628452578264
|935823746406530603
|}
놈의 경우 두 번째 시리즈를 개발할 수 있다:
:<math>q(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Sw}(n)}{2^{4n - 3}} \biggl(\frac{1 - \sqrt[4]{1 - x^2}}{1 + \sqrt[4]{1 - x^2}}\biggr)^{4n - 3} = x^2\biggl\{\frac{1}{2} + \biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Sw}(n + 1)}{2^{4n + 1}} x^{2n}\biggr]\biggr\}^4 </math>
정수 시퀀스 <math>Sw(n) </math>은 Schwarz 수를 나타낸다. 실레지아 독일 수학자 [[:de:Hermann_Amandus_Schwarz|Hermann Amandus Schwarz]]는 54-56페이지의 ''"Berechnung der Grösse k"'' 장에서 ''"Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen"'' 이라는 저서에서 정수 수열을 썼다. 이 슈바르츠 수열 <math>Sw(n) </math>은 20세기 수학자 [[:de:Karl_Theodor_Wilhelm_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]]와 [[:de:Louis_Melville_Milne-Thomson|Louis Melville Milne-Thomson]]에 의해 분석되었다. 수학자 [[:de:Adolf_Kneser|Adolf Kneser]]는 다음 패턴을 기반으로 이 시퀀스에 대한 합성 방법을 결정했다.

: <math>\text{Sw}(1) = 1 </math>
: <math>\text{Sw}(n+1) = \frac{2}{n}\sum _{m = 1}^{n} \text{Sw}(m)\text{Kn}(n + 1 - m) </math>

Schwarz 시퀀스 <math>Sw(n) </math>은 번호 A002103 아래의 숫자 시퀀스의 온라인 백과사전에서 입력되고 Kneser 시퀀스 <math>Kn(n) </math>은 번호 A227503 아래에 입력된다. Kneser 정수 시퀀스 <math>Kn(n) </math>은 다음과 같이 정의된 특수 [[:de:Roger_Apéry|Apéry 시퀀스]] <math>Ap(n) </math>(OEIS A036917)를 사용하여 구성할 수 있다.

: <math>\text{Ap}(n) = \sum_{a = 0}^{n-1} \binom{2a}{a}^2 \binom{2n-2-2a}{n-1- a}^2 </math>

이러한 방식으로 모든 [[자연수]] n에 대해 Kneser 수열을 정의할 수 있다.

: <math>\text{Kn}(n + 1) = 2^{4n + 1} - \tfrac{1}{8}\text{Ap}(n + 2) - \sum_{b = 1}^ {n} \text{Kn}(b)\text{Ap}(n + 2 - b) </math>

Kneser 시퀀스는 [[:de:생성_함수|생성 함수]]에 의해 다음과 같이 생성될 수도 있다.

: <math>\frac{\pi^2}{8x(1 - x^2)K(x)^2} - \frac{1}{2x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\text{Kn}(n)}{2^{4n - 2}}x^{2n - 1} </math>

다음 표에는 슈바르츠 수와 크네저 수와 아페리 수가 포함되어 있다.
{| class="wikitable"
|+Kneser에 따른 시퀀스 구성 방법
!인덱스 n
!Ap(n) (A036917)
!Kn(n) (A227503)
!Sw(n) (A002103)
|-
|1
|1
|1
|1
|-
|2
|8
|13
|2
|-
|3
|88
|184
|15
|-
|4
|1088
|2701
|150
|-
|5
|14296
|40456
|1707
|-
|6
|195008
|613720
|20910
|-
|7
|2728384
|9391936
|268616
|-
|8
|38879744
|144644749
|3567400
|}

== 값 목록 ==
다음에서 놈의 일부 기능 값이 제공된다. 다음은 [[렘니스케이트]] 값이다.

: <math>q(0) = 0 </math>
: <math>q(1) = 1 </math>
: <math>q(-1) = 1 </math>
: <math>q(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}) = \text{e}^{-\pi} </math>
: <math>q[(\sqrt{2} - 1)^2] = \text{e}^{-2\pi} </math>
: <math>q[2\sqrt[4]{2}(\sqrt{2} - 1)] = \exp(-\tfrac{1}{2}\pi) </math>
: <math>q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{2} - \sqrt[4]{3})] = \text{e}^{-3\pi} </math>
: <math>q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{3})] = \exp(-\tfrac{1}{3}\pi) </math>
: <math>q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{10} - 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt[4]{5})] = \text{e}^{-5\pi} </math>
: <math>q[\tfrac{1}{2}(\sqrt{10} - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt[4]{5})] = \exp(-\tfrac{1}{5}\pi) </math>

일부 비 렘니스케이트 값은 다음과 같다:

: <math>q[\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2})] = \text{e}^{-\sqrt{3}\pi} </math>
: <math>q[\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2})] = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]\bigr\} = \text{e}^{-\sqrt{5}\pi} </math>
: <math>q\bigl\{\cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]\bigr\} = \exp(-\tfrac{1}{5}\sqrt{5}\,\pi) </math>
: <math>q[\tfrac{1}{8}(3\sqrt{2} - \sqrt{14})] = \text{e}^{-\sqrt{7}\pi} </math>
: <math>q[\tfrac{1}{8}(3\sqrt{2} + \sqrt{14})] = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl[\tfrac{1}{16}\bigl(\sqrt{22} + 3\sqrt{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 2\sqrt{11}} - \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} - 2\sqrt{11}} + \tfrac{1}{3}\sqrt{11} - 1\bigr)^4\bigr] = \text{e}^{-\sqrt{11}\pi} </math>
: <math>q\bigl[\tfrac{1}{16}\bigl(\sqrt{22} - 3\sqrt{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 2\sqrt{11}} - \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} - 2\sqrt{11}} + \tfrac{1}{3}\sqrt{11} + 1\bigr)^4\bigr] = \exp(-\tfrac{1}{11}\sqrt{11}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]\bigr\} = \text{e}^{-\sqrt{13}\pi} </math>
: <math>q\bigl\{\cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]\bigr\} = \exp(-\tfrac{1}{13}\sqrt{13}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\langle\sin\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17} + 2}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{17}\pi} </math>
: <math>q\bigl\langle\cos\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17} + 2}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{17}\sqrt{17}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\langle\sin\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[(\sqrt{37} - 6)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{37}\pi} </math>
: <math>q\bigl\langle\cos\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[(\sqrt{37} - 6)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{37}\sqrt{37}\,\pi) </math>

다음 값은 홀수의 제곱근과 함께 Gelfold 상수의 역수의 거듭제곱으로 발생한다:

: <math>q(\sqrt{2} - 1) = \text{e}^{-\sqrt{2}\pi} </math>
: <math>q(\sqrt{2\sqrt{2} - 2}) = \exp(-\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\pi) </math>
: <math>q[(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2})] = \text{e}^{-\sqrt{6}\pi} </math>
: <math>q[(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})] = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{6}\,\pi) </math>
: <math>q[(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{2} - 1)^2] = \text{e}^{-\sqrt{10}\pi} </math>
: <math>q[(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{2} + 1)^2] = \exp(-\tfrac{1}{5}\sqrt{10}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sqrt{4\sqrt{2} + 5}\bigr)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{14}\pi} </math>
: <math>q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sqrt{4\sqrt{2} + 5}\bigr)^3\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{14}\,\pi) </math>
: <math>q[(10 - 3\sqrt{11})(3\sqrt{11} - 7\sqrt{2})] = \text{e}^{-\sqrt{22}\pi} </math>
: <math>q[(10 - 3\sqrt{11})(3\sqrt{11} + 7\sqrt{2})] = \exp(-\tfrac{1}{11}\sqrt{22}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\{(\sqrt{26}+5)(\sqrt{2}-1)^2 \tan\bigl[\tfrac{1}{4}\pi-\arctan(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}}+\tfrac{1}{6}\sqrt{26}-\tfrac{1}{2}\sqrt{2})\bigr]^4\bigr\} = \text{e}^{-\sqrt{26}\pi} </math>
: <math>q\bigl\{(\sqrt{26}+5)(\sqrt{2}+1)^2 \tan\bigl[\arctan(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}}+\tfrac{1}{6}\sqrt{26}+\tfrac{1}{2}\sqrt{2})-\tfrac{1}{4}\pi\bigr]^4\bigr\} = \exp(-\tfrac{1}{13}\sqrt{26}\,\pi) </math><math>q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{4}\sqrt{6\sqrt{17} + 10}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \text{e}^{-\sqrt{34}\pi} </math>
: <math>q\bigl\langle\tan\bigl\{\tfrac{1}{2}\arctan\bigl[\bigl(\tfrac{1}{4}\sqrt{17} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4}\sqrt{6\sqrt{17} + 10}\bigr)^6\bigr]\bigr\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{17}\sqrt{34}\,\pi) </math>
: <math>q[(13\sqrt{58} - 99)(\sqrt{2} - 1)^6] = \text{e}^{-\sqrt{58}\pi} </math>
: <math>q[(13\sqrt{58} - 99)(\sqrt{2} + 1)^6] = \exp(-\tfrac{1}{29}\sqrt{58}\,\pi) </math>
놈를 제곱하면 다음 값이 된다:

: <math>q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl(\sqrt{2} - 1\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \text{e}^{-2\sqrt{2}\pi} </math>
: <math>q[(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2(\sqrt{2} - 1)^2] = \text{e}^{-2\sqrt{3}\pi} </math>
: <math>q[(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2(\sqrt{2} + 1)^2] = \exp(-\tfrac{2}{3}\sqrt{3}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \text{e}^{-2\sqrt{5}\pi} </math>
: <math>q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\pi - \tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(\sqrt{5} - 2\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \exp(-\tfrac{2}{5}\sqrt{5}\,\pi) </math>
: <math>q[(\sqrt{2} - 1)^4 (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^2] = \text{e}^{-2\sqrt{7}\pi} </math>
: <math>q[(\sqrt{2} - 1)^4 (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2] = \exp(-\tfrac{2}{7}\sqrt{7}\,\pi) </math>
: <math>q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \text{e}^{-2\sqrt{13}\pi} </math>
: <math>q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\pi - \tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(5\sqrt{13} - 18\bigr)\bigr]^2\bigr\} = \exp(-\tfrac{2}{13}\sqrt{13}\,\pi) </math>

가치의 특정 사중주가 아래에 나열되어 있다:
{| class="wikitable"
|<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{10} - 3)^2 (\sqrt{5} - 2)^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\sqrt{30}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{10} - 3)^2 (\sqrt{5} + 2)^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{30}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{10} + 3)^2 (\sqrt{5} - 2)^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{5}\sqrt{30}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{10} + 3)^2 (\sqrt{5} + 2)^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{15}\sqrt{30}\,\pi)</math>
|-
|<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2 (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\sqrt{42}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2 (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{42}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})^2 (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{42}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})^2 (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{21}\sqrt{42}\,\pi)</math>
|-
|<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{5} - 2)^4 (\sqrt{2} - 1)^6]\}\bigr\rangle = \exp(-\sqrt{70}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{5} - 2)^4 (\sqrt{2} + 1)^6]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{5}\sqrt{70}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{5} + 2)^4 (\sqrt{2} - 1)^6]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{70}\,\pi)</math>

<math>q\bigl\langle\tan\{\tfrac{1}{2}\arctan[(\sqrt{5} + 2)^4 (\sqrt{2} + 1)^6]\}\bigr\rangle = \exp(-\tfrac{1}{35}\sqrt{70}\,\pi)</math>
|}

== 지수 정리 ==
대수 숫자의 놈를 밑수로 하고 양의 유리수를 지수로 사용하는 모든 거듭제곱은 대수 숫자의 놈이 된다:

: <math>q(x_{1} \in \mathbb{A})^{w \in \mathbb{Q^{+}}} = q(x_{2} \in \mathbb{A})^{} </math>

[[야코비 타원 함수]]를 사용하여 정리를 설명하는 경우 정리에 대해 다음 공식을 설정할 수 있다:

: <math>q(x)^2 = q[x^2(1+\sqrt{1-x^2})^{-2}] </math>
: <math>q(x)^3 = q\{x^3\operatorname{sn}[\tfrac{1}{3}K(x);x]^4\} </math>
: <math>q(x)^5 = q\{x^5\operatorname{sn}[\tfrac{1}{5}K(x);x]^4\operatorname{sn}[\tfrac{3}{5}K(x);x]^4\} </math>
: <math>q(x)^7 = q\{x^7\operatorname{sn}[\tfrac{1}{7}K(x);x]^4\operatorname{sn}[\tfrac{3}{7}K(x);x]^4\operatorname{sn}[\tfrac{5}{7}K(x);x]^4\} </math>

[[실수]] 값 구간 [-1;1]의 대수적 x 값의 경우 표시된 야코비 사인 [[진폭]] 표현식은 항상 대수적이다. 일반적으로 모든 자연수 n에 대해:

: <math>q(x)^{2n+1} = q\biggl\{x^{2n+1}\prod_{k = 1}^{n}\operatorname{sn}\bigl[\tfrac{2k-1}{2n+1}K(x);x\bigr]^4\biggr\} </math>

입방체에 대한 정리는 단순화된 방식으로 매개변수화할 수도 있다:

: <math>q[u(\sqrt{u^4-u^2+1}-u^2+1)]^3 = q[u(\sqrt{u^4-u^2+1}+u^2-1)] </math>

이 공식은 모든 값 <math>- 1 < u < 1</math>에 유효하다. 다음 반사 정리는 타원 놈에 대해 유효하다:

: <math>\ln\biggl\langle q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{4}\pi - \tfrac{1}{2}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle \ln\biggl\langle q\bigl\{\sin\bigl[\tfrac{1}{4}\pi + \tfrac{1}{2}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle = \pi^2 </math>
: <math>\ln\bigl\{q\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2-2x(x^2+1)^{-1/2}}\bigr]\bigr\} \ln\bigl\{q\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2+2x(x^2+1)^{-1/2}}\bigr]\bigr\} = \pi^2 </math>
: <math>\ln\biggl\langle q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{8}\pi - \tfrac{1}{4}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle \ln\biggl\langle q\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{8}\pi + \tfrac{1}{4}\arctan(x)\bigr]\bigr\}\biggr\rangle = 2\pi^2 </math>
: <math>\ln\bigl\{ q\bigl[\sqrt{(\sqrt{x^2+1}+x)^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x\bigr]\bigr\} \ln\bigl\{ q\bigl[\sqrt{(\sqrt{x^2+1}-x)^2+1}-\sqrt{x^2+1}+x\bigr]\bigr\} = 2\pi^2 </math>

== 미분법 ==
타원 놈 함수는 다음과 같이 파생된다:

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} q(x) = \frac{\pi^2}{2x(1-x^2)K(x)^2} q(x) </math>

2차 도함수는 다음과 같다:

: <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} q(x) = \frac{\pi^4 + 2\pi^2 (1+x^2)K(x)^2 - 4\pi^2 K(x)E(x)}{4x^2(1-x^2)^2 K(x)^4} q(x) </math>

그리고 3차 도함수는 다음과 같은 형식을 취한다:

: <math>\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x) = \frac{\pi^6 + 6\pi^4 (1+x^2)K(x)^2 + 8\pi^2 (1+x^2)^2 K(x)^4 + 12\pi^2 K(x)E(x)[-\pi^2 - 2(1+x^2)K(x)^2 + 2K(x)E(x)]}{8x^3(1-x^2)^3 K(x)^6} q(x) </math>

두 번째 종류의 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의된다:

: <math>E(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\varepsilon^2 \sin(\varphi)^2} \mathrm{d}\varphi  </math>
: <math>E(\varepsilon) = 2\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{(w^2+1)^2 - 4\,\varepsilon^2 w^2}}{(w^2+1)^2} \mathrm{d}w </math>

두 공식은 서로 일치하며 동일한 결과를 가져온다.

제2종 완전 타원 적분을 지우면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:

: <math>3\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} q(x)\biggr]^2 - 2\biggl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} q(x)\biggr]\biggl[\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x)\biggr] = \frac{\pi^8 - 4\pi^4 (1+x^2)^2 K(x)^4}{16x^4(1-x^2)^4 K(x)^8} q(x)^2 </math>

따라서 이 3차 미분방정식은 유효하다:

: <math>x^2 (1-x^2)^2 [2q(x)^2 q'(x)q'''(x) - 3q(x)^2 q''(x)^2 + q'(x)^4] = (1+x^2)^2 q(x)^2 q'(x)^2 </math>

== 무한 합과 무한 곱 ==
타원 놈는 Richard Dedekind에 의해 연구되었으며 이것은 그의 에타 함수 이론의 기초를 형성한다. 타원형 놈는 Lambert 급수의 구성에서 시작점을 형성하고 [[산술 기하 평균]]의 대수적 조합에 대한 Carl Gustav Jacobi의 [[세타 함수|테타 함수]]에서 가로 좌표로 지정된다. 일반적으로 많은 시리즈 확장은 타원 놈로 설명된다:

: <math>\sum_{n = 1}^{\infty}  q(x)^{n^2} = \tfrac{1}{2}\vartheta_{00}[q(x)] - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\operatorname{agm}(1-x;1+x)^{-1/2} - \tfrac{1}{2} </math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty}  q(x)^{(2n-1)^2} = \tfrac{1}{4}\vartheta_{00}[q(x)] - \tfrac{1}{4}\vartheta_{01}[q(x)] = \tfrac{1}{4}(1-\sqrt[4]{1-x^2})\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2q(x)^{n}}{q(x)^{2n} + 1} = \tfrac{1}{2}\vartheta_{00}[q(x)]^2 - \tfrac{1}{2} = \pi^{-1}K(x) - \tfrac{1}{2} </math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2} + 1} = \tfrac{1}{4}\vartheta_{00}[q(x)]^2 - \tfrac{1}{4}\vartheta_{01}[q(x)]^2 = \tfrac{1}{2}(1-\sqrt{1-x^2})\,\pi^{-1}K(x) </math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty}  n^2 q(x)^{n^2} = 2^{-1/2}\pi^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^2)K(x)] </math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{2q(x)^{n}}{1 + q(x)^{2n}}\biggr]^2 = 2\pi^{-2}E(x)K(x) - \tfrac{1}{2} </math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{2q(x)^{n}}{1 - q(x)^{2n}}\biggr]^2 = \tfrac{2}{3}\pi^{-2}(2 - x^2)K(x)^2 - 2\pi^{-2}K(x)E(x) + \tfrac{1}{6} </math>
: <math>\prod_{n = 1}^{\infty} [1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^2 = \sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>
: <math>\prod_{n = 1}^{\infty} [1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^2 \sqrt[4]{1-x^2}\,\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>

== 테타 함수 ==
세 가지 주요 테타 함수는 다음과 같이 정의된다:

: <math>\vartheta_{00}(y) = 1 + 2\biggl(\sum_{n = 1}^{\infty} y^{n^2}\biggr) </math>
: <math>\vartheta_{01}(y) = 1 + 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}y^{n^2}\biggr] </math>
: <math>\vartheta_{10}(y) = 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} y^{(n - 1/2)^2}\biggr] </math>

야코비 정체성는 이 세 가지 함수을 수학적 조합으로 제공한다:

: <math>\vartheta_{10}(y) = \sqrt[4]{\vartheta_{00}(y)^4 - \vartheta_{01}(y)^4} </math>

테타 함수와 타원형 놈 함수는 서로 다음과 같은 관계를 갖는다:

: <math>\vartheta_{00}[q(x)] = \sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>
: <math>\vartheta_{01}[q(x)] = \sqrt[4]{1-x^2}\,\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>
: <math>\vartheta_{00}[q(x)^2] = \cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin(x)\bigr]\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>
: <math>\vartheta_{01}[q(x)^2] = \sqrt[8]{1 - x^2}\,\sqrt{2\pi^{-1}K(x)} </math>

== 오차 방정식 ==
Abel-Ruffini 정리에 따르면 5차 방정식의 일반적인 경우는 기본적으로 풀 수 없다. 그러나 타원 명사와 세타 함수의 조합으로 모든 [[오차 방정식]]을 풀 수 있다. 다음의 브링-제라드 정규형의 5차 다항식에 대해 언급된 타원 함수가 있는 실제 솔루션이 이제 표현된다:

: <math>x^5 + 5\,x = 4\,c </math>
: <math>Q = q\bigl[\bigl(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr] </math>
: <math>x = \frac{\bigl[\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 - 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2\bigr]\sqrt{\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 + 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2 - 4\,\vartheta_{00}(Q)^2 - 2\,\vartheta_{00}(Q^{1/5})\,\vartheta_{00}(Q^5)}}{4\,\vartheta_{10}(Q)\,\vartheta_{01}(Q)\,\vartheta_{00}(Q)} </math>

기본 함수로 풀 수 있는 방정식의 예:

첫 번째 계산 예:
{| class="wikitable"
|
<math>x^5 + 5\,x = 2\sqrt{3} </math>

<math>Q = q\bigl[\bigl(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr](c = \tfrac{1}{2}\sqrt{3}) = \exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi) </math> <math>{\color{JungleGreen}x = \frac{\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{15}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]^2}{4\,\vartheta_{10}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]\,\vartheta_{01}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]} \times}</math> <math>{\color{JungleGreen}\times\sqrt{\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{15}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]^2 + 5\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]^2 - 4\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]^2 - 2\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{15}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]}}</math> <math>\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{15}\sqrt{3}\,\pi)\bigr] = \biggl[\frac{4}{3}\sin\bigl(\tfrac{1}{5}\pi\bigr)\frac{\sqrt[3]{10} + 1}{\sqrt[6]{80}} + \frac{1}{3}\cot(\tfrac{1}{10}\pi)\biggr]\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]</math> <math>\sqrt{5}\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr] = \biggl[\frac{4}{3}\cos\bigl(\tfrac{1}{10}\pi\bigr)\frac{\sqrt[3]{10} + 1}{\sqrt[6]{80}} - \frac{1}{3}\tan(\tfrac{1}{5}\pi)\biggr]\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,\pi)\bigr]</math>

<math>{\color{ForestGreen}x = \tfrac{1}{3}\sqrt{3}\,(\sqrt[3]{10} - 1)}</math>
|}
두 번째 계산 예:
{| class="wikitable"
|
<math>x^5 + 5\,x = 3\sqrt{7} </math>

<math>Q = q\bigl[\bigl(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr](c = \tfrac{3}{4}\sqrt{7}) = \exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi) </math> <math>{\color{JungleGreen}x = \frac{\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{35}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]^2}{4\,\vartheta_{10}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]\,\vartheta_{01}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]} \times}</math> <math>{\color{JungleGreen}\times\sqrt{\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{35}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]^2 + 5\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]^2 - 4\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]^2 - 2\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{35}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]}}</math> <math>\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{35}\sqrt{7}\,\pi)\bigr] = \tfrac{4}{3}\sqrt{3}\cos(\tfrac{1}{10}\pi)\cosh\bigl[\tfrac{1}{3}\text{artanh}(\tfrac{1}{9}\sqrt{21})\bigr]\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]</math> <math>\sqrt{5}\,\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{5}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr] = \tfrac{4}{3}\sqrt{3}\sin(\tfrac{1}{5}\pi)\cosh\bigl[\tfrac{1}{3}\text{artanh}(\tfrac{1}{9}\sqrt{21})\bigr]\vartheta_{00}\bigl[\exp(-\tfrac{1}{7}\sqrt{7}\,\pi)\bigr]</math>

<math>{\color{ForestGreen}x = \tfrac{1}{2}\sqrt{7} - \tfrac{1}{2}\sqrt{3}\tanh\bigl[\tfrac{1}{3}\text{artanh}(\tfrac{1}{9}\sqrt{21})\bigr]}</math>
|}
타원 함수로만 풀 수 있는 계산 예:
: <math>x^5 + 5\,x = 2\sqrt[4]{2} </math>
: <math>Q = q\bigl[\bigl(2\,c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr](c = 2^{-3/4}) = q\bigl[\cos\bigl(\tfrac{1}{8}\pi\bigr)\bigr] </math>
: <math>Q \approx 0.11785793531185771914155254110648923544545944879394196130445 </math>
: <math>x = \frac{\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^{1/5}\bigr\}^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^5\bigr\}^2}{4\,\vartheta_{10}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}\,\vartheta_{01}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}} \times</math>
: <math>\times\sqrt{\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^{1/5}\bigr\}^2 + 5\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^5\bigr\}^2 - 4\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]\bigr\}^2 - 2\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^{1/5}\bigr\}\,\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\bigr]^5\bigr\}}</math>
: <math>x \approx 0.4710447387949811740242434591671230417409496435087081512857 </math>

이제 솔루션이 타원 함수의 도움으로만 표현될 수 있는 두 번째 예가 표시된다:

: <math>x^5 + 5\,x = 4</math>
: <math>Q = q\bigl[\bigl(2c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr]\bigl(c = 1\bigr) = q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8}\bigr)\bigr]</math>
: <math>Q \approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625</math>
: <math>x = \frac{\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}^2 - 5\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]^5\}^2}{4\,\vartheta_{10}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}\,\vartheta_{01}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}} \times </math>
: <math>\times \sqrt{\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}^2 + 5\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^5\}^2 - 4\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]\}^2 - 2\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^5\}} </math>
: <math>x \approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913 </math>

== 같이 보기 ==
* [[바이어슈트라스 에타 함수#바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수|바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수]]
* [[오일러 등식]]

== 참고 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''[[w:Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. {{OCLC|1097832}} .  See sections 16.27.4 and 17.3.17.  1972 edition: {{ISBN|0-486-61272-4}}
* [[w:Tom M. Apostol|Tom M. Apostol]], ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York {{ISBN|0-387-97127-0}}
* Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon and Jörg Waldvogel, ''Vom Lösen numerischer Probleme'', page 275
* [[Edmund Taylor Whittaker]] and [[George Neville Watson]]: ''A Course in Modern Analysis, 4th ed.'' Cambridge, England: [[케임브리지 대학교 출판부|Cambridge University Press]], 1990. page 469–470.
* Toshio Fukushima: ''Fast Computation of Complete Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions''. 2012, [[National Astronomical Observatory of Japan]] (国立天文台)
* Lowan, Blanch and Horenstein: ''On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions''. Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942
* H. Ferguson, D. E. Nielsen, G. Cook: ''A partition formula for the integer coefficients of the theta function nome''. Mathematics of computation, Volume 29, number 131, Juli 1975
* J. D. Fenton and R. S. Gardiner-Garden: ''Rapidly-convergent methods for evaluating elliptic integrals and theta and elliptic functions''. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24, 1982, page 57
* Charles Hermite: ''Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus''. Acad. Sci. Paris, Nr. 11, 1858
* Nikolaos Bagis: ''On the solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction''. Pella, Makedonien, Griechenland, 2015
* Nikolaos Bagis: ''Solution of Polynomial Equations with Nested Radicals''. Pella, Makedonien, Griechenland, 2020
* Viktor Prasolov (Прасолов) und Yuri Solovyev (Соловьёв): ''Elliptic Functions and Elliptic Integrals''. Volume 170, Rhode Island, 1991. pages 149 – 159
* Sun Zhi-Hong: ''New congruences involving Apery-like numbers''. Huaiyin Normal University, [[Huaian]] (淮安), China, 2020. page 2
* Robert Fricke: ''Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil''. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (eBook)
* Adolf Kneser: ''Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen''. J. reine u. angew. Math. 157, 1927. pages 209 – 218
* G. P. Young: ''Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic''. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
* C. Runge: ''Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x 5 + u x + v = 0 {\displaystyle x^{5}+ux+v=0} x^{5}+ux+v=0''. In: Acta Math. Band 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
* Edward Neuman: ''Two-sided inequalitites for the lemniscate functions.'' Volume 1, [[Southern Illinois University Carbondale]], USA, 2014.
* Ji-en Deng und Chao-ping Chen: ''Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions.'' [[Henan-Universität|Universität Henan]] (河南大学), China, 2014.
* Jun-Ling Sun und Chao-ping Chen: ''Shafer-type inequalities for inverse trigonometric functions and Gauss lemniscate functions.'' Universität Henan, China, 2016.
* Minjie Wei, Yue He and Gendi Wang: ''Shafer–Fink type inequalities for arc lemniscate functions''. Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, China, 2019

[[분류:특수 함수]]
[[분류:타원함수]]