노달변형 회로분석 문서 원본 보기

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[[전자공학]]에서 '''노달변형 회로분석법(Modified Nodal Analysis)''' 또는 약어로 MNA는 [[노달 회로분석]]의 확장된 개념이다. 이 분석법은 교점(Node)에 걸리는 전압의 해석([[노달 회로분석]], Nodal Analysis)뿐만 아니라, 특정 지선(Branch)에 흐르는 전류또한 분석가능한 기법이다. 사실, 노달 회로분석에서는 흐르는 전류는 그대로 분석없이 표시되며 코일([[인덕턴스]], inductance)에 대한 분석을 하기 어렵다. 그리고, MNA는 모든 회로를 분석하여 이것을 행렬(매트릭스, Matrix)화 하여 수칙해석으로 적용이 가능하다. 실제적인 반도체 시뮬레이션이나 디자인에서는 노달 회로분석법 대신에 MNA를 사용하여 설계한다.

== 해석 방법 ==

'''노달변형 회로 분석'''에서는 BCE(Branch Constitutive Equation)나 KCL, KVL등을 모두 사용해서 해석을 한다. <br />

'''분석 1'''<br />

그라운드와 연결된 노드를 제외한 모든 노드에 입력과 아웃을 기준으로 KCL([[키르히호프의 전기회로 법칙|키르히호프의 전하량 보존 법칙]])을 적용한다. 노드를 기준으로 나아가는 것은 '+' 이고 들어오는 것은'-'이다. 아래 그림 1의 ''<math>e_2</math>'' 노드를 기준으로 보면 들어오고 나아간 전류의 양의 합은 항상 0 이어야 한다.<br />
(여기에서 들어오는 것을 '+'로 하고 나아가는 것을 '-'으로 정한다고 해도 결과는 같다. 여러 가지 해석을 할 때 한가지 기준점이 필요하므로 이렇게 정의를 내리는 것 뿐이다. 사실, 전원은 주로 하나이고, 어드미턴스는 여러개인 경우가 많으므로 전원 하나 즉 들어오는 것을 '-'로 하고 나아가는 전류 즉 '+'로 하는 것이 수식을 기입하기 더 편리하다.) <br />

'''분석 2 '''

회로의 노드와 노드 사이의 가능한 모든 지선(Branch)에 BCE를 적용한다. 여기에서 노드의 전압은 'e' 가지(Branch)의 전압은 'V'로 표현한다. 노드1 과 노드 2사이 지선의 전압은 <math>V_R = e_1 - e_2</math>가 된다.(단 전류는 <math>e_1</math>에서 <math>e_2</math>로 흐른다)

'''분석 3'''

마지막으로 분석1에 분석2을 대입하여 식을 줄인다.

== 예제 ==

아래 그림은 선형 저항과 콘덴스회로, RC회로이다. 저항은 <math>R</math> 대신에 어드미턴스(admittance) <math> G = 1/R</math> 을 사용한다. 그럼 아래 회로를 해석해 보자.

[[파일:RC_signed.png|섬네일|none|alt=RC Circuit|RC 회로]]

{| class="wikitable"
|-
! 요소
! 지선 공식
|-
| 저항
| <math>I_R = GV_R</math>
|-
| 콘덴스
| <math>I_C = C\frac{dV_C}{dt}</math>
|}

'''분석 1'''

위의 회로는 두개의 노드가 있다. 노드의 전압을 <math>e_1</math> 과 <math>e_2</math>로 정의한다. 또한 여기에 <math>i_{V_s}</math> 그리고 <math> i_{R}</math>, <math>i_{C}</math> 3개의 전류가 존재한다. 위의 회로는 그라운드([[Ground (electricity)|Ground]])를 기준으로 2 개의 노드(Node)와 3개의 가지(Branch)가 존재한다.

노드1 ''<math>e_1</math>''에 KCL 적용하면:

<math>i_{V_s} + i_R = 0</math><br />
(여기에서 <math>i_{V_s}</math>은 '-' 값을 가진다. <math>-i_{V_s} = i_R </math>에서 <math>i_{V_s} + i_R = 0</math> 로 치환된 값이다. 전류가 R에서 C의 방향으로 흐른다고 가정하면 전원의 실질적인 전자는 반대 방향으로 흐르게 된다. 그래서 전원의 값은 '-' 값을 가진다.)

노드2 ''<math>e_2</math>''에 값은:

<math>-i_R + i_C = 0</math>

'''분석 2'''

BCE의 방식으로 위의 회로를 해석하면:

<math>V_s = e_1</math><br />
(그라운드를 기준으로 <math>V_s</math>는 <math>e_1</math>과 같은 위치에 있다. 그래서 등식이 성립한다.)<br />

<math>V_R = e_1 - e_2</math><br />
(전류는 전압이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다. 그래서 <math>e_1</math>이 <math>e_2</math>보다 높다. 높은 곳에서 낮은 곳으로 뺀다.)<br />

<math>V_C = e_2</math>
(그라운드를 기준으로 <math>V_C </math>는 <math>e_2</math>과 같은 위치에 있다.)<br />

분석 2의 식을 분석 1에 대입을 하면:<br />

<math>G(e_1 - e_2) + i_{V_S} = 0</math>

<math>C\frac{de_2}{dt} + G(e_2  - e_1) = 0</math>

'''분석 3'''

실질적으로 두개의 노드에 관한 식이 성립하지만 BCE에 의해 숨겨진 식이 3개 존재한다. 위의 식을 다시 풀어 쓰면:<br />

<math>G(e_1) - G(e_2) + i_{V_S} = 0</math> <br />

<math>-G(e_1) + G(e_2) + C\frac{de_2}{dt} = 0</math>

=== 노달변형 회로분석과 대수미분식([[differential algebraic equation]]) ===

<math>e_1= V_s</math>를 추가 하고 <br />
위의 식을 다시 풀어쓰면 <math>\begin{pmatrix}G & -G&  1\\-G & G & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ i_{V_S}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0& C& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ i_{V_S}\end{pmatrix}'= \begin{pmatrix}0\\0\\V_s\end{pmatrix}</math>로 다시 쓸 수 있다.<br />

만약 벡트매트릭스를 <math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix}e_1&e_2&i_{V_S}\end{pmatrix}^T</math> 로 정의하면, <math>Ex'(t) + Ax(t) = f,</math>의 식으로 다시 풀어 쓸 수 있다. <br />

그러면 위의 식은 <math>A = \begin{pmatrix}G & -G&  1\\-G & G & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>, <math>E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0& C& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}</math> 그리고 <math>f = \begin{pmatrix}0&0&V_s\end{pmatrix}</math>로 쓸 수 있다.

대수미분식에서 <math>E</math> 단수형의 수가 된다. 위와 같은 식은 SPICE와 같은 모든 반도체 디자인 회로 시뮬레이션 소프트웨어에서 적용된다

== 참조 ==
* {{콘퍼런스 인용 |author=Ho, Ruehli, and Brennan |title=The Modified Nodal Approach to Network Analysis |booktitle=Proc. 1974 Int. Symposium on Circuits and Systems, San Francisco |month=April |year=1974 |pages=505&ndash;509 |url=http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1084079}}
* {{저널 인용 |author=Hachtel, G., Brayton, R, and Gustavson, F. |title= The Sparse Tableau Approach to Network Analysis and Design |journal=IEEE Transactions on Circuit Theory|volume=18 |month=January |year=1971 |pages= 101&ndash;113 |url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1083223 |doi=10.1109/TCT.1971.1083223}}
* Cheng, Chung-Kuan. Lecture Notes for CSE245: Computer-Aided Circuit Simulation and Verification. Spring 2006. Lecture 1
* Tischendorf C. Topological index of DAEs in the Circuit Simulation.

[[분류:전자 회로]]