네즈빗의 부등식 문서 원본 보기

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'''네스빗의 부등식'''(Nesbitt's inequality, -不等式)은 다음과 같은 수학적 [[부등식]]을 말한다.<ref name="a">류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 67쪽.</ref> 이 부등식은 [[셔피로의 부등식]]에서 n=3의 특수한 형태이다.

* 양의 [[실수]] a, b, c에 대하여, <math>\frac{3}{2} \le \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}.</math>

== 증명 ==
증명1} 네스빗의 부등식은 [[코시-슈바르츠 부등식]]을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다.<ref name="a"/> 이 부등식을 이용하여 먼저 다음을 얻는다.

: <math>(a+b+c)^2 \le (\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b})(a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)).</math>

그런데, 다음 식이 성립하므로,

: <math>0 \le a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (a+b+c)^2 - \frac{3}{2} (a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)).</math>

맨 위의 식에서 양 변에 <math>(a(b+c) + b(c+a) + c(a+b))</math> 을 나누면 원하는 결과를 얻는다.

증명2} 재배열 부등식으로도 증명이 가능하다.

<math>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}</math>

<math>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}</math>

위 두식을 더하게 되면,

<math>2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq1+1+1=3</math>이 되므로, 정리하면,

<math>\frac{3}{2} \le \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}</math>가 성립하게 된다.

== 각주 ==
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== 참고 문헌 ==
* 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008

{{전거 통제}}

[[분류:부등식]]
[[분류:대칭]]
[[분류:대수학]]