내접 사각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Cyclic quadrilateral 1.svg|thumb]]
[[기하학]]에서 '''내접 사각형'''(內接四角形, {{llang|en|cyclic quadrilateral}})은 네 꼭짓점이 한 [[원 (기하학)|원]] 위의 점인 [[사각형]]이다. 즉, 이는 어떤 원에 [[내접]]하는 사각형이며, 다시 말해 이는 [[외접원]]을 갖는 사각형이다.

== 정의 ==
([[볼록 사각형|볼록]]) [[사각형]] <math>ABCD</math>의 네 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>가 [[공원점]]이라면, 이 사각형 <math>ABCD</math>를 '''내접 사각형'''이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 <math>ABCD</math>의 '''[[외접원]]'''이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 <math>ABCD</math>의 '''[[외심]]'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 각 ===
내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 [[내각과 외각|외각]]은 [[내대각]]과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 <math>ABCD</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 사각형 <math>ABCD</math>는 내접 사각형이다.
* <math>A+C=180^\circ</math>
* <math>B+D=180^\circ</math>
{{증명}}
만약 사각형 <math>ABCD</math>는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 <math>A</math>와 <math>C</math>에서의 내각은 각각 <math>B</math>와 <math>D</math>를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 [[원주각]]이므로 합은 180도이다. 만약 <math>A+C=180^\circ</math>라면, 또한 <math>A</math>와 <math>C</math>는 직선 <math>BD</math>의 서로 반대쪽에 위치하므로, <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>는 공원점이며, 사각형 <math>ABCD</math>는 내접 사각형이다.
{{증명 끝}}

사각형의 네 내각의 [[각의 이등분선|이등분선]]으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|35, §4.1}}
{{증명}}
사각형 <math>ABCD</math>의 <math>A</math>와 <math>B</math>, <math>B</math>와 <math>C</math>, <math>C</math>와 <math>D</math>, <math>D</math>와 <math>A</math>에서의 내각의 이등분선이 각각 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면
:<math>P=180^\circ-\frac 12A-\frac 12B</math>
:<math>R=180^\circ-\frac 12C-\frac 12D</math>
이므로
:<math>P+R=360^\circ-\frac 12(A+B+C+D)=180^\circ</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 대각선 ===
[[프톨레마이오스 정리]]에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 <math>ABCD</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 사각형 <math>ABCD</math>는 내접 사각형이다.
* <math>AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC</math>

=== 넓이 ===
[[브라마굽타 공식]]에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>라고 하고, [[반둘레]]를 <math>s</math>라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는
:<math>S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>
이다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|57, §3.2, Theorem 3.22}} 만약 <math>d=0</math>이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 [[헤론 공식]]
:<math>S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
가 된다.<ref name="Coxeter" />{{rp|57, §3.2}}

=== 반중심 ===
{{참고|브라마굽타 정리#일반화}}
내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 '''반중심'''(反中心, {{llang|en|anticenter}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|36, §4.2}} 내접 사각형의 반중심은 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]에 대한 [[외심]]의 [[반사 (기하학)|반사]]상이다.
{{증명}}
내접 사각형 <math>ABCD</math>의 각 변 <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, <math>DA</math>의 중점을 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>라고 하고, [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]] <math>G</math>에 대한 외심 <math>O</math>의 반사상을 <math>T</math>라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>는 선분 <math>OT</math>와 <math>PR</math>의 공통 중점이므로, 삼각형 <math>PTG</math>와 <math>ROG</math>는 서로 <math>G</math>에 대한 반사상이며, 특히 <math>PT</math>와 <math>OR</math>는 평행한다. <math>OR</math>는 선분 <math>CD</math>의 [[수직 이등분선]]이므로, <math>PT</math> 역시 <math>CD</math>의 수선이다.
{{증명 끝}}

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 [[수심 (기하학)|수심]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|39, §4.2}} 특히 [[직교대각선 사각형|직교대각선]] 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 [[수직|직교]]한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 [[브라마굽타 정리]]라고 한다.
{{증명}}
내접 사각형 <math>ABCD</math>의 대각선 <math>AC</math>, <math>BD</math>의 교점을 <math>P</math>라고 하고, 선분 <math>AC</math>의 중점을 <math>M</math>, <math>BD</math>의 중점을 <math>N</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>는 선분 <math>MN</math>의 중점이다. 또한 이는 외심 <math>O</math>와 반중심 <math>T</math>를 잇는 선분 <math>OT</math>의 중점이므로, 삼각형 <math>MTG</math>와 <math>NOG</math>는 서로 <math>G</math>에 대한 반사상이며, 특히 <math>MT</math>와 <math>ON</math>은 평행한다. <math>ON</math>은 선분 <math>BD</math>의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 <math>PMN</math>의 변 <math>PN</math>의 수선이다. 따라서 <math>MT</math> 역시 <math>PN</math>의 수선이다. 마찬가지로 <math>NT</math>는 <math>PM</math>의 수선이다. 즉, <math>T</math>는 삼각형 <math>PMN</math>의 수심이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[외접원]]
* [[방멱]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CyclicQuadrilateral|title=Cyclic quadrilateral}}
* {{매스월드|id=Anticenter|title=Anticenter}}

{{전거 통제}}

[[분류:사각형]]