내부 (위상수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''내부'''(內部, {{llang|en|interior}})는 원래의 [[집합]]에서 [[경계 (위상수학)|경계]]를 제외하여 얻는 집합이다. <math>A</math>의 내부의 기호는 <math>\operatorname{int}A</math> 또는 <math>A^\circ</math>이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>의 '''내부''' <math>\operatorname{int}A\subseteq X</math>는 <math>A</math>를 [[근방]]으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 <math>x\in X</math>들의 집합이다.
* <math>x\in U\subseteq A</math>인 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>가 존재한다.
내부의 원소를 '''내부점'''(內部點, {{llang|en|interior point}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 열린집합과의 관계 ===
위상 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>A</math>는 [[열린집합]]이다.
* <math>A=\operatorname{int}A</math>
* <math>A\subseteq\operatorname{int}A</math>
반대로 <math>\operatorname{int}A</math>는 <math>A</math>의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 <math>A</math>의 최대 열린부분집합이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|92-101}}

=== 폐포와의 관계 ===
내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{int}A\subseteq A\subseteq\operatorname{cl}A</math>
내부와 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{int}A=X\setminus\operatorname{cl}(X\setminus A)</math>
위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 [[경계 (위상수학)|경계]]와 [[외부 (위상수학)|외부]]로 분할할 수 있다.
:<math>X=\operatorname{int}A\sqcup\partial A\sqcup\operatorname{ext}A</math>

=== 집합 연산과의 관계 ===
내부는 유한 교집합을 보존한다.
:<math>\operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int}A\cap\operatorname{int}B</math>
그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{int}\bigcap_{i\in I}A_i\subseteq\bigcap_{i\in I}\operatorname{int}A_i</math>
:<math>\operatorname{int}\bigcup_{i\in I}A_i\supseteq\bigcup_{i\in I}\operatorname{int}A_i</math>

=== 기저와의 관계 ===
위상 공간 <math>(X,\mathcal T)</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal T</math>가 주어졌을 때, 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>x\in\operatorname{int}A</math>
* <math>x\in B\subseteq A</math>인 <math>B\in\mathcal B</math>가 존재한다.
즉, <math>\operatorname{int}A</math>는 <math>A</math>에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

== 예 ==
[[실수선]] <math>\mathbb R</math>의 표준적인 위상은 [[순서 위상]]이며, 이는 모든 [[열린구간]]을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.
:<math>\operatorname{int}\bigcap_{n=1}^\infty\left[-\frac1n,\frac1n\right]=\varnothing\subsetneq\{0\}=\bigcap_{n=1}^\infty\operatorname{int}\left[-\frac1n,\frac1n\right]</math>
또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{int}([0,1]\cup[1,2])=(0,2)\supsetneq(0,1)\cup(1,2)=\operatorname{int}[0,1]\cup\operatorname{int}[1,2]</math>

=== 스콧 위상 ===
[[연속 원순서 집합|연속]] [[dcpo]] <math>(P,\le)</math> 위에 [[스콧 위상]]을 부여하였을 때, 임의의 <math>a\in P</math>의 [[상폐포]]의 내부는 다음과 같다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|136, Proposition II-1.6}}
:<math>\operatorname{int}\mathop\uparrow a=\mathop\Uparrow a=\{b\in P\colon b\gg a\}</math>
{{증명}}
<math>\mathop\Uparrow a</math>은 [[스콧 열린집합]]: <math>D\subseteq L</math>가 [[상향 집합]]이며, <math>\textstyle a\ll\bigvee D</math>라고 하자. <math>P</math>가 [[연속 원순서 집합|연속]] [[dcpo]]이므로, <math>a\ll d</math>인 <math>d\in D</math>가 존재한다. 즉, <math>\mathop\Uparrow a\cap D\ne\varnothing</math>이다.

<math>\operatorname{int}\mathop\uparrow a\subseteq\mathop\Uparrow a</math>: 임의의 <math>b\in\operatorname{int}\mathop\uparrow a</math> 및 [[상향 집합]] <math>D\subseteq L</math>가 주어졌으며, 또한 <math>\textstyle b\le\bigvee D</math>라고 하자. <math>a\le d</math>인 <math>d\in D</math>를 찾으면 족하다. <math>\operatorname{int}\mathop\uparrow a</math>는 [[스콧 열린집합]]이므로, [[상집합]]이다. 따라서, <math>\textstyle\bigvee D\in\operatorname{int}\mathop\uparrow a</math>이다. 따라서, <math>D\cap\operatorname{int}\mathop\uparrow a</math>는 [[공집합]]이 아니다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[외부 (위상수학)]]
* [[경계 (위상수학)]]
* [[근방]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Interior of a set}}
* {{nlab|id=interior|title=Interior}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Interior|제목=Interior|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:폐포 연산자]]