내부자기동형사상 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''내부자기동형사상'''(內部自己準同型寫像, {{llang|en|inner automorphism}})은 [[군 (수학)|군]]의 원소를 고정 원소에 대한 켤레 원소에 대응시키는 군 [[자기동형사상]]이다.

== 정의 ==
군의 원소 <math>g\in G</math>에 대한 '''내부자기동형사상'''은 다음과 같다.
:<math>G\to G</math>
:<math>x\mapsto gxg^{-1}</math>
군 <math>G</math>의 '''내부자기동형군''' <math>\operatorname{Inn}(G)</math>는 <math>G</math> 위 내부자기동형사상이 이루는 군이다. 이는 [[자기동형군]] <math>\operatorname{Aut}(G)</math>의 [[정규 부분군]]이다.

=== 켤레류 ===
군의 서로 켤레 원소 <math>x,y\in G</math>는 <math>gxg^{-1}=y</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하는 두 원소이다. 서로 켤레는 군 위의 [[동치 관계]]이다.

군의 원소 <math>x\in G</math>의 '''켤레류'''(-類, {{llang|en|conjugacy class}}) 또는 '''공액류'''(共軛類)는 다음과 같은 집합이다.
:<math>\operatorname{Cl}(x)=\{gxg^{-1}\colon g\in G\}</math>
이는 <math>G</math> 위의 켤레 관계에 대한 [[동치류]]이다. 즉, 군을 [[집합의 분할|분할]]한다. 또한, 켤레류는 내부자기동형사상이 유도하는 [[군의 작용]]의 [[궤도 (군론)|궤도]]이다.

== 성질 ==
내부자기동형군은 [[자기동형군]]의 [[정규 부분군]]이다.
:<math>\operatorname{Inn}(G)\trianglelefteq\operatorname{Aut}(G)</math>
이에 대한 [[몫군]]
:<math>\operatorname{Out}(G)=\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)</math>
를 [[외부자기동형군]]이라고 한다.

군의 원소를 그에 대한 내부자기동형사상에 대응시키는 [[군 준동형]]
:<math>G\to\operatorname{Aut}(G)</math>
:<math>g\mapsto g{-}g^{-1}</math>
의  [[상 (수학)|상]]은 내부자기동형군이며, [[핵 (수학)|핵]]은 군의 [[중심 (대수학)|중심]]이다. 따라서 다음 [[동형]]이 성립한다.
:<math>\operatorname{Inn}(G)\cong G/Z(G)</math>

=== 켤레류 방정식 ===
이 군 준동형은 [[군의 작용]]으로 볼 때, 그 [[궤도 (수학)|궤도]]는 켤레류이며, [[안정자군]]은 [[중심화 부분군]]이다. 따라서 다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 '''켤레류 방정식'''({{llang|en|class equation}})이라고 한다.
:<math>|G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^n|\!\operatorname{Cl}(x_i)|</math>
즉
:<math>|G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^n|G:C_G(x_i)|</math>
여기서
* <math>\operatorname{Cl}(x_i)</math>는 크기 1 이상의 켤레류들이다.
* <math>C_G(x_i)</math>는 중심화 진부분군들이다.
* <math>Z(G)</math>는 중심이다. 중심의 원소일 조건은 켤레류가 [[한원소 집합]]일 조건 및 중심화 부분군이 <math>G</math>일 조건과 동치이다.

== 참고 문헌 ==
* {{인용| mr=2574864  | last1=Abdollahi | first1=A. | title=Powerful ''p''-groups have non-inner automorphisms of order ''p'' and some cohomology | journal=J. Algebra | volume=323  | year=2010 | issue=3 | pages=779&ndash;789 | doi=10.1016/j.jalgebra.2009.10.013| arxiv=0901.3182 }}
* {{인용| mr=2333188  | last1=Abdollahi | first1=A. | title=Finite ''p''-groups of class ''2'' have noninner automorphisms of order ''p'' | journal=J. Algebra | volume=312  | year=2007 | issue=2 | pages=876&ndash;879 | doi=10.1016/j.jalgebra.2006.08.036| arxiv=math/0608581 }}
* {{인용| mr=1898386  | last1=Deaconescu | first1=M. | last2=Silberberg | first2=G. | title=Noninner automorphisms of order ''p'' of finite ''p''-groups | journal=J. Algebra | volume=250  | year=2002 | pages=283&ndash;287 | doi=10.1006/jabr.2001.9093}}
* {{인용| mr=0193144  | last1=Gaschütz | first1=W. | title=Nichtabelsche ''p''-Gruppen besitzen äussere ''p''-Automorphismen| journal=J. Algebra | volume=4  | year=1966 | pages=1&ndash;2 | doi=10.1016/0021-8693(66)90045-7}}
* {{인용| mr=0173708  | last1=Liebeck | first1=H. | title=Outer automorphisms in nilpotent ''p''-groups of class ''2'' | journal=J. London Math. Soc. | volume=40  | year=1965 | pages=268&ndash;275 | doi=10.1112/jlms/s1-40.1.268}}
* {{springer|title=Inner automorphism|id=I/i051230|last=Remeslennikov|first=V.N.}}
* {{매스월드|title=Inner Automorphism|urlname=InnerAutomorphism}}

[[분류:군론]]