내림 데이터 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''내림 데이터'''(-data, {{llang|en|descent datum}}, {{llang|fr|donnée de descente}})는 어떤 [[올범주]]의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 [[수학]] 분야를 '''내림 이론'''({{llang|en|descent theory}}, {{llang|fr|théorie de la descente}})이라고 한다.

== 정의 ==
=== 체를 통한 정의 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 위의 [[올범주]] <math>\Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>U\in\mathcal C</math>
* <math>U</math> 위의 [[체 (범주론)|체]] <math>S\subseteq\hom_{\mathcal C}(-,U)</math>
그렇다면, <math>S</math>는 함자
:<math>\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>X\mapsto S(X)</math>
:<math>\left(X\xrightarrow fY\right)\mapsto \left(S(Y)\xrightarrow{f^*}S(X)\right)</math>
로 생각할 수 있다. 이에 대하여 [[그로텐디크 구성]]을 가하여 [[올범주]]
:<math>\Pi_S\colon\operatorname{Elem}(S)\to\mathcal C</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math>\operatorname{Elem}(S)</math>의 대상 <math>(X,\iota)</math>는 <math>X\in\mathcal C</math> 및 <math>(\iota\colon X\to U)\in S(X)</math>로 구성된다. 즉, <math>X</math> 위의 올은 <math>S(X)</math>이다.

<math>S</math> 위의 '''내림 데이터'''는 <math>\mathcal C</math>-올범주의 사상
:<math>F\colon\operatorname{Elem}(S)/\mathcal C\to\mathcal F/\mathcal C</math>
이다. 즉, 가환 그림
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Elem}(S)&\to&\mathcal F\\
&\searrow&\downarrow\\
&&\mathcal C
\end{matrix}</math>
을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 [[함자 (수학)|함자]]이다.

=== 구체적 정의 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위치 (수학)|위치]] <math>\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 위의 [[올범주]] <math>\Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>U\in\mathcal C</math>
* <math>U</math>의 덮개[[체 (범주론)|체]] <math>\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}</math>
그렇다면, <math>S</math> 위의 '''내림 데이터'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, 대상 <math>F_i\in\mathcal F(U_i)</math>
* 임의의 사상 <math>u\colon U_i\to U_j</math>에 대하여 (<math>\iota_j\circ u=\iota_i</math>),  <math>\Pi(\phi_u)=u</math>인 [[데카르트 사상]] <math>\phi_u\colon F_i\to F_j</math>
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* <math>u=\operatorname{id}_{U_i}</math>일 때, <math>\phi_{\operatorname{id}_{U_i}}=\operatorname{id}_{F_i}</math>
* 임의의 <math>U_i\xrightarrow uU_j\xrightarrow vU_k</math>에 대하여 (<math>\iota_j\circ u=\iota_i</math>, <math>\iota_k\circ v=\iota_j</math>), <math>\phi_{v\circ u}=\phi_v\circ\phi_u</math>

만약 [[올범주]] <math>\mathcal F/\mathcal C</math>의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림 <math>u^*F_j\to F_j</math>이 주어지며, 이 경우 ([[데카르트 사상]]의 [[보편 성질]]에 의하여) <math>\phi_u</math>는 (유일하게 결정되는) [[동형 사상]] <math>F_i\to u^*F_j</math>으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

=== 덮개를 통한 정의 ===
체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합 <math>\{\iota_i\colon U_i\to U\}</math>에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 모든 [[당김 (범주론)|당김]]을 갖는 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 위의 [[올범주]] <math>\Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>U\in\mathcal C</math>
* <math>U</math>를 [[공역]]으로 하는 사상들의 집합 <math>\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}</math>.
그렇다면, <math>S</math> 위의 '''내림 데이터'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>i\in I</math> 및 사상 <math>f\colon X\to U_i</math>에 대하여, 대상 <math>F_{i,f}\in\mathcal F(X)</math>
* 각 가환 오각형  <math>\begin{matrix}
X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\
\scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\
X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U
\end{matrix}</math>에 대하여, <math>\Pi(F_{i,f,u,j,f'})=u</math>인 [[데카르트 사상]] <math>\phi_{i,f,u,j,f'}\colon F_{i,f}\to F_{j,f'}</math>
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* <math>f\colon X\to U_i</math>에 대하여, <math>\phi_{i,f\operatorname{id}_X,i,f}=\operatorname{id}_{F_i}</math>
* 임의의 [[당김 (범주론)|당김]] <math>\begin{matrix}
U_i\times_UU_j &\to&U_i\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\iota_i\\
U_j&\underset{\iota_j}\to&U
\end{matrix}</math>에 대하여, <math>F_{i,\operatorname{proj}_{U_i}}=F_{j,\operatorname{proj}_{U_j}}</math>
* 임의의 가환 그림 <math>\begin{matrix}
X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\
\scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\
X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U\\
\scriptstyle v\downarrow&&&&\|\\
X''&\underset{f''}\to&U_k&\underset{\iota_k}\to&U
\end{matrix}</math>에 대하여, <math>\phi_{j,f',v,k,f''}\circ\phi_{i,f,u,j,f'}=\phi_{k,f'',v\circ u,i,f}</math>

[[올범주]] <math>\mathcal F/\mathcal C</math>의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각 <math>F\in\mathcal F</math> 및 <math>f\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>에 대하여 올림
:<math>f^*X\xrightarrow{\phi_{f,X}}X</math>
가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, 대상 <math>F_i\in\mathcal F(U_i)</math>
* 각 <math>i,j\in I</math> 및 [[당김 (범주론)|당김]] <math>U_i\xleftarrow{\operatorname{proj}_{U_i}}U_i\times_UU_j\xrightarrow{\operatorname{proj}_{U_j}}U_j</math>에 대하여, [[동형 사상]] <math>\phi_{ij}\colon\operatorname{proj}_{U_j}^*F_j\to\operatorname{proj}_{U_i}^*F_i</math>
이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 모든 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>\phi_{i,i}=\operatorname{id}</math>이며, <math>\phi_{i,j}\circ\phi_{j,i}=\operatorname{id}</math>이다.
* (공사슬 조건 {{llang|en|cocycle condition}}) 모든 <math>i,j,k\in I</math>에 대하여, <math>\operatorname{proj}_{13}^*\phi_{i,k}=\operatorname{proj}_{12}^*\phi_{i,j}\circ\operatorname{proj}_{23}^*\phi_{j,k}\colon\operatorname{proj}_3^*F_i\to \operatorname{proj}_1^*F_k</math>. 여기서 <math>\operatorname{proj}_{(-)}</math>는 <math>U_i\times_UU_j\times_UU_k</math>의 각종 사영 사상이다.
그렇다면, 임의의 사상 <math>f\colon X\to U_i</math>에 대하여 <math>F_{i,f}=\operatorname{dom}f^*F_i</math>인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

=== 효과적 내림 ===
올범주 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math> 및 <math>\mathcal B</math> 위의 [[그로텐디크 위상]] 및 대상 <math>U\in\mathcal B</math> 및 그 덮개 <math>\{U_i\to U\}_{i\in I}</math>에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.
* <math>U</math> 위의 올 <math>\mathcal E(U)</math>
* 덮개 <math>\{U_i\to U\}_{i\in I}</math>에 대한 내림 데이터의 범주 <math>\operatorname{Desc}(\{U_i\to U\}_{i\in I})</math>
또한, <math>\Pi</math> 위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자
:<math>\mathcal E(U)\to\operatorname{Desc}(\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I})</math>
가 존재한다. 이 함자는 <math>F\in\mathcal E(U)</math>에 대하여, <math>F_i</math>에 대하여
:<math>F_i=\iota_i^*F</math>
를 대응시킨다.

만약 이 함자 <math>\mathcal E(U)\to\operatorname{Desc}(\{\iota_i\}_{i\in I})</math>
가 [[충실충만한 함자]]라면, 덮개 <math>\{\iota_i\}_{i\in I}</math>가 '''충실충만한 내림'''(充實充滿-, {{llang|en|fully faithful descent}})을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 [[범주의 동치]]라면, 덮개 <math>\{\iota_i\}_{i\in I}</math>가 '''효과적 내림'''(效果的-, {{llang|en|effective descent}})을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터 <math>\mathcal E(U)</math> 속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)

올범주 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math> 및 <math>\mathcal B</math> 위의 [[그로텐디크 위상]]에 대하여,
* 만약 <math>\mathcal B</math> 위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면, <math>\Pi</math>를 '''준스택'''({{llang|en|prestack}})이라고 한다.
* 만약 <math>\mathcal B</math> 위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, <math>\Pi</math>를 '''[[스택 (수학)|스택]]'''({{llang|en|stack}})이라고 한다.

== 예 ==
=== 연속 함수 ===
위상 공간의 범주의 [[화살표 범주]] <math>\operatorname{Top}^\to</math>를 생각하자. [[연속 함수]]를 그 [[공역]]으로 대응시키는 함자
:<math>\operatorname{cod}\colon\operatorname{Top}^\to\to\operatorname{Top}</math>
에 의하여, 이는 올범주를 이루며, <math>X</math> 위의 올은 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Top}/X</math>이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 [[그로텐디크 위상]]에서, 덮개는 (위상수학의) [[열린 덮개]]이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉, <math>\operatorname{Top}^\to</math>은 <math>\operatorname{Top}</math> 위의 [[스택 (수학)|스택]]을 이룬다.

=== 준연접층 ===
[[준연접층]] <math>\operatorname{QCoh}(-)</math>는 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 올범주를 이룬다. <math>\operatorname{Sch}</math> 위의, [[fpqc 위상]]에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, <math>\operatorname{QCoh}</math>는 ([[fpqc 위상]]을 부여한) <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[스택 (수학)|스택]]을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 [[엉성한 위상]] ([[에탈 위상]], [[자리스키 위상]]) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 <Math>S\in\operatorname{Sch}</math>에 대하여, <math>\operatorname{QCoh}(-)</math>는 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Sch}/S</math> 위의 올범주를 이루며, [[fpqc 위상]]을 부여한다면 이 역시 [[스택 (수학)|스택]]을 이룬다.

== 역사 ==
내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 [[대수기하학]] 세미나》 1권<ref>{{서적 인용
 | editor1-last = Grothendieck
 | editor1-first = A.
 | editor1-link = 알렉산더 그로텐디크
 | title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)
 | 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=224 | issn=0075-8434
 | year=1971
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-3-540-05614-0
 |doi=10.1007/BFb0058656 | arxiv=math/0206203
 | 언어 = fr
}}</ref>에서 도입되었다.

== 같이 보기 ==
* [[스택 (수학)]]
* [[그로텐디크 위상]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=1210.0431|제목=Topologies de Grothendieck, descente, quotients|이름=Sylvain|성=Brochard|날짜=2012|bibcode=2012arXiv1210.0431B|언어=fr}}
* {{저널 인용|arxiv=math/0412512|제목=Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory|이름=Angelo|성=Vistoli|날짜=2007-05-17|bibcode=2004math.....12512V|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Form of an (algebraic) structure}}
* {{nlab|id=category of descent data|title=Category of descent data}}
* {{nlab|id=descent|title=Descent}}
* {{nlab|id=descent morphism|title=Descent morphism}}
* {{nlab|id=descent object|title=Descent object}}
* {{nlab|id=descent of affine schemes}}
* {{nlab|id=cohomological descent|title=Cohomological descent}}
* {{nlab|id=monadic descent|title=Monadic descent}}
** {{nlab|id=higher monadic descent|title=Higher monadic descent}}
** {{nlab|id=descent in noncommutative algebraic geometry|title=Descent in noncommutative algebraic geometry}}
* {{웹 인용|url=http://chromotopy.org/thoughts-on-descent|제목=Thoughts on descent|이름=Jon|성=Beardsley|웹사이트=Chromotopy|날짜=2013-11-27|언어=en|확인날짜=2016-02-20|보존url=https://web.archive.org/web/20150313072435/http://www.chromotopy.org/thoughts-on-descent#|보존날짜=2015-03-13|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/22032/what-is-descent-theory|제목=What is descent theory?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/210927/what-is-descent-data-of-higher-categories-conceptually|제목=What is descent data of higher categories, conceptually?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:층론]]
[[분류:대수기하학]]