나폴레옹 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Napoleon's theorem.svg|섬네일|나폴레옹 정리 도해]]
[[기하학]]에서 '''나폴레옹 정리'''({{lang|fr|Napoléon}}定理, {{llang|en|Napoleon theorem}})는 주어진 [[삼각형]]의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 [[정삼각형]]의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 외측에서 삼각형 <math>E_ABC</math>, <math>E_BCA</math>, <math>E_CAB</math>가 [[정삼각형]]이 되게 만드는 점 <math>E_A</math>, <math>E_B</math>, <math>E_C</math>를 잡고 (예를 들어 <math>E_A</math>는 <math>BC</math>에 대하여 <math>A</math>의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형 <math>E_ABC</math>, <math>E_BCA</math>, <math>E_CAB</math>의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]을 각각 <math>N_A</math>, <math>N_B</math>, <math>N_C</math>라고 하자. 마찬가지로, 삼각형 <math>ABC</math>의 내측에서 삼각형 <math>E_A'BC</math>, <math>E_B'AC</math>, <math>E_C'AB</math>가 정삼각형이 되게 만드는 점 <math>E_A'</math>, <math>E_B'</math>, <math>E_C'</math>를 잡고 (예를 들어 <math>E_A'</math>는 <math>BC</math>에 대하여 <math>A</math>와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형 <math>E_A'BC</math>, <math>E_B'AC</math>, <math>E_C'AB</math>의 무게 중심을 각각 <math>N_A'</math>, <math>N_B'</math>, <math>N_C'</math>라고 하자. '''나폴레옹 정리'''에 따르면, 삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>와 <math>N_A'N_B'N_C'</math>은 모두 정삼각형이다.

삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>를 삼각형 <math>ABC</math>의 '''외측 나폴레옹 삼각형'''(外側{{lang|fr|Napoléon}}三角形, {{llang|en|outer Napoleon triangle}})이라고 하고, 삼각형 <math>N_A'N_B'N_C'</math>를 삼각형 <math>ABC</math>의 '''내측 나폴레옹 삼각형'''(內側{{lang|fr|Napoléon}}三角形, {{llang|en|inner Napoleon triangle}})이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

== 역사 ==
1825년에 [[영국]]의 수학자 윌리엄 러더퍼드({{llang|en|William Rutherford}})가 《레이디스 다이어리》({{llang|en|The Ladies' Diary}})의 〈새로운 수학 문제〉({{llang|en|New Mathematical Questions}})란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.<ref name="Grünbaum" />{{rp|495}}

[[프랑스]]의 황제 [[나폴레옹 보나파르트]]의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.<ref name="Grünbaum">{{저널 인용
|성=Grünbaum
|이름=Branko
|제목=Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=119
|호=6
|쪽=496-501
|날짜=2012
|issn=0002-9890
|doi=10.4169/amer.math.monthly.119.06.495
|jstor=10.4169/amer.math.monthly.119.06.495
|zbl=1264.01010
}}</ref>{{rp|497}}

== 증명 ==
다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.

=== 닮음을 통한 증명 ===
외측 나폴레옹 삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자. <math>N_AN_B</math>와 <math>N_AN_C</math>에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 [[내심]]은 일치하므로, <math>N_A</math>, <math>N_B</math>, <math>N_C</math>는 각각 정삼각형 <math>E_ABC</math>, <math>E_BCA</math>, <math>E_CAB</math>의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히
:<math>\angle N_ACB=30^\circ=\angle N_BCA</math>
이며, 양변에 <math>\angle ACB</math>를 더하면
:<math>\angle N_ACA=\angle N_BCB</math>
를 얻는다. 또한
:<math>N_AC=\frac 1{\sqrt 3}E_AC,\;N_BC=\frac 1{\sqrt 3}AC</math>
이므로, 삼각형 <math>N_AN_BC</math>와 <math>E_AAC</math>는 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 다시 말해, 삼각형 <math>N_AN_BC</math>를 <math>C</math>를 중심으로 30도 회전한 뒤 <math>C</math>를 중심으로 하고 <math>1/\sqrt 3</math>를 비로 하는 [[중심 닮음 변환]]을 가하면 삼각형 <math>E_AAC</math>를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 <math>N_AN_CB</math>와 <math>E_AAB</math> 역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시 <math>1/\sqrt 3</math>이다. 따라서
:<math>N_AN_B=\frac 1{\sqrt 3}E_AA=N_AN_C</math>
가 성립한다.

=== 외접원을 통한 증명 ===
우선 삼각형 <math>E_ABC</math>, <math>E_BCA</math>, <math>E_CAB</math>의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|61-63, §3.3}} 편의상 삼각형 <math>E_ABC</math>, <math>E_BCA</math>의 [[외접원]]의 <math>C</math>가 아닌 교점을 <math>P</math>라고 하자. 편의상 <math>P</math>가 <math>BC</math>, <math>AC</math>에 대하여 각각 <math>A</math>, <math>B</math>와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면
:<math>\angle BPC=180^\circ-\angle BE_AC=120^\circ</math>
:<math>\angle APC=180^\circ-\angle AE_BC=120^\circ</math>
이므로
:<math>\angle APB=360^\circ-\angle BPC-\angle APC=120^\circ=180^\circ-\angle E_CAB</math>
이며, <math>P</math>는 삼각형 <math>E_CAB</math>의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.

이제 외측 나폴레옹 삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상 <math>\angle N_BN_AN_C</math>에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형 <math>E_ABC</math>와 <math>E_BCA</math>의 외접원의 중심선 <math>N_AN_B</math>는 공통현 <math>PC</math>의 [[수직 이등분선]]이다. 마찬가지로 삼각형 <math>E_ABC</math>와 <math>E_CAB</math>의 외접원의 중심선 <math>N_AN_C</math> 역시 공통현 <math>PB</math>의 수직 이등분선이다. 따라서
:<math>\angle N_BN_AN_C=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle BPC=60^\circ</math>
이다.

=== 삼각법적 증명 ===
외측 나폴레옹 삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>의 변 <math>N_AN_B</math>의 길이를 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 세 변의 길이 <math>BC=a</math>, <math>CA=b</math>, <math>AB=c</math>에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 [[대칭 함수]]라면 남은 두 변 <math>N_BN_C</math>, <math>N_CN_A</math>의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형 <math>N_AN_BC</math>에서
:<math>\angle N_ACN_B=C+60^\circ</math>
:<math>N_AC=\frac 1{\sqrt 3}a,\;N_BC=\frac 1{\sqrt 3}b</math>
이므로, [[코사인 법칙]]을 적용하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}{N_AN_B}^2
&=N_AC^2+N_BC^2-2\cdot N_AC\cdot N_BC\cdot\cos\angle N_ACN_B\\
&=\frac 13(a^2+b^2-2ab\cos(C+60^\circ))\\
&=\frac 13\left(a^2+b^2-ab\cos C+\sqrt 3ab\sin C\right)\\
&=\frac 16(a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S)
\end{align}</math>
여기서 <math>S</math>는 삼각형 <math>ABC</math>의 넓이이다. 마지막 함수는 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.

== 나폴레옹 삼각형의 성질 ==
=== 변의 길이와 넓이 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 하고, [[넓이]]를 <math>S</math>라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>, <math>N_A'N_B'N_C'</math>의 변의 길이는
:<math>N_AN_B=N_BN_C=N_CN_A=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S}6}</math>
:<math>N_A'N_B'=N_B'N_C'=N_C'N_A'=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3S}6}</math>
이며, 넓이는
:<math>S_{\triangle N_AN_BN_C}=\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt 3S}{8\sqrt 3}</math>
:<math>S_{\triangle N_A'N_B'N_C'}=\frac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3S}{8\sqrt 3}</math>
이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.<ref name="Coxeter" />{{rp|64, Theorem 3.38}}

=== 무게 중심 ===
삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]은 같다.<ref name="Coxeter" />{{rp|65, §3.3, Exercise 4}} 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 [[선형 변환]]을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.
{{증명|각주=<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|178-179, §5F}}
}}
삼각형 <math>ABC</math>의 무게 중심을 <math>G</math>라고 하자. 편의상 삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형 <math>ABC</math>의 평면 위의 벡터들에 대한 변환 <math>T</math>가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여
:<math>\overrightarrow{XY}</math>
와
:<math>T(\overrightarrow{XY})</math>
사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면 <math>T</math>는 [[선형 변환]]이다. 삼각형 <math>E_ABC</math>는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로
:<math>\overrightarrow{CE_A}=T(\overrightarrow{CB})</math>
이며, 또한 <math>N_A</math>은 삼각형 <math>E_ABC</math>의 무게 중심이므로
:<math>\begin{align}\overrightarrow 0
&=\overrightarrow{N_AE_A}+\overrightarrow{N_AB}+\overrightarrow{N_AC}\\
&=\overrightarrow{N_AC}+\overrightarrow{CE_A}+\overrightarrow{N_AB}+\overrightarrow{N_AC}\\
&=\overrightarrow{N_AB}+2\overrightarrow{N_AC}+T(\overrightarrow{CB})
\end{align}</math>
이다. 마찬가지로,
:<math>\overrightarrow 0=\overrightarrow{N_BC}+2\overrightarrow{N_BA}+T(\overrightarrow{AC})</math>
:<math>\overrightarrow 0=\overrightarrow{N_CA}+2\overrightarrow{N_CB}+T(\overrightarrow{BA})</math>
가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면
:<math>\begin{align}\overrightarrow 0
&
=\overrightarrow{N_AB}+2\overrightarrow{N_AC}
+\overrightarrow{N_BC}+2\overrightarrow{N_BA}
+\overrightarrow{N_CA}+2\overrightarrow{N_CB}\\
&
=3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})
-3(\overrightarrow{GN_A}+\overrightarrow{GN_B}+\overrightarrow{GN_C})\\
&
=-3(\overrightarrow{GN_A}+\overrightarrow{GN_B}+\overrightarrow{GN_C})
\end{align}</math>
를 얻는다. 즉, <math>G</math>는 외측 나폴레옹 삼각형 <math>N_AN_BN_C</math>의 무게 중심이다.
{{증명 끝}}

== 일반화 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 외측에서
:<math>P+Q+R=180^\circ</math>
를 만족시키는 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>를 잡자. 그렇다면, 삼각형 <math>PBC</math>, <math>AQC</math>, <math>ABR</math>의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형 <math>PBC</math>, <math>AQC</math>, <math>ABR</math>가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.

삼각형 <math>ABC</math>의 외측에서 삼각형 <math>PBC</math>, <math>AQC</math>, <math>ABR</math>가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>를 잡고, 삼각형 <math>PBC</math>, <math>AQC</math>, <math>ABR</math>의 무게 중심을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. 그렇다면, 삼각형 <math>DEF</math>는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형 <math>PBC</math>, <math>AQC</math>, <math>ABR</math>가 정삼각형인 특수한 경우이다.

== 같이 보기 ==
* [[나폴레옹의 문제]]
* [[몰리 삼등분 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=NapoleonsTheorem|title=Napoleon's theorem}}
* {{매스월드|id=OuterNapoleonTriangle|title=Outer Napoleon triangle}}
* {{매스월드|id=InnerNapoleonTriangle|title=Inner Napoleon triangle}}
* {{매스월드|id=OuterNapoleonCircle|title=Outer Napoleon circle}}
* {{매스월드|id=InnerNapoleonCircle|title=Inner Napoleon circle}}
* {{매스월드|id=FirstNapoleonPoint|title=First Napoleon point}}
* {{매스월드|id=SecondNapoleonPoint|title=Second Napoleon point}}
* {{웹 인용
|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml
|성=Bogomolny
|이름=Alexander
|제목=Napoleon’s theorem
|언어=en
|웹사이트=Cut the Knot
}}

[[분류:삼각형에 대한 정리]]
[[분류:나폴레옹 보나파르트]]