나카지마 화살집 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[그래프 이론]]에서 '''나카지마 화살집 다양체'''([中島]화살집多樣體, {{llang|en|Nakajima quiver variety}})는 [[화살집 (수학)|화살집]]에 대응되는 특별한 [[초켈러 다양체]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Lectures on Nakajima’s quiver varieties|이름=Victor|성=Ginzburg|arxiv=0905.0686|날짜=2008|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1611.10000|제목= Introduction to quiver varieties for ring and representation theorists|이름=Hiraku|성=Nakajima|날짜=2016|언어=en}}</ref> [[카츠-무디 대수]]의 표현론과 관련되어 있다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[화살집 (수학)|화살집]] <math>\Gamma</math>
* 각 꼭짓점 <math>i\in \operatorname V(\Gamma)</math>에 대하여, 두 유한 차원 [[복소수 벡터 공간]] <math>V_i</math>, <math>W_i</math>
그렇다면, 다음과 같은 [[복소수 벡터 공간]]을 정의할 수 있다.
:<math>E = \bigoplus_{i\in\operatorname V(\Gamma)} (\hom(V_i,W_i)) \oplus \bigoplus_{i,j\in\operatorname V(\Gamma),\;e\in\hom_\Gamma(i,j)}\hom(V_i,V_j)</math>
그 차원은
:<math>\dim V_i = v_i</math>
:<math>\dim W_i = w_i</math>
로 놓고, <math>\mathbb C^{\operatorname V(\Gamma)}</math> 위의 [[브라-켓 표기법]]을 사용하면
:<math>\dim_{\mathbb C}E = \langle v|\mathsf A(\Gamma)|v\rangle + \langle v|w\rangle</math>
이다. 여기서 <math>\mathsf A(\Gamma)</math>는 <math>\Gamma</math>의 [[인접 행렬]]이다. 만약 <math>(V_i,W_i)_{i\in\operatorname V(\Gamma)}</math>에 각각 [[복소수 내적 공간]]의 구조를 부여하면, <math>E</math> 역시 [[복소수 내적 공간]]이 된다. 또한,
:<math>\mathrm T^*E \cong E \oplus E^*
= \bigoplus_{i\in\operatorname V(\Gamma)} (\hom(V_i,W_i)\oplus\hom(W_i,V_i)) \oplus \bigoplus_{i,j\in\operatorname V(\Gamma),\;e\in\hom_\Gamma(i,j)} (\hom(V_i,V_j)\oplus\hom(V_j,V_i))</math>
위에는 자연스럽게 [[사원수 벡터 공간]]의 구조가 주어진다.

이 위에는 [[대수군]]
:<math>G = \prod_{i\in\operatorname V(\Gamma)} \operatorname{GL}(V_i;\mathbb C)</math>
이 [[군의 작용|작용]]하며, 이는 <math>\mathrm T^*E</math>의 [[초켈러 다양체]] 구조와 호환된다. <math>G</math>의 작용의 [[운동량 사상]]
:<math>\mu \colon \mathrm T^*E \to \mathfrak{lie}(G)^*</math>
의 정귯값 <math>\zeta\in\mathfrak{lie}(G)^*</math>에 대하여 [[초켈러 몫]]
:<math>E /\!/\!/ G</math>
를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, [[기하 불변량 이론 몫]]을 취하여 [[준안정점]]이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 [[대수다양체]]를 <math>(\Gamma,(V_i,W_i)_{i\in\operatorname V(\Gamma)})</math>의 '''나카지마 화살집 다양체'''라고 한다. 이는 흔히 <math>\mathcal M(\Gamma,v,w)</math>로 표기된다. 그 복소수 차원은
:<math>\dim_{\mathbb C}\mathcal M(\Gamma,v,w)
=2(\langle v|(\mathsf A(\Gamma)-1)|v\rangle + \langle v|w\rangle)</math>
이다. 여기서
:<math>1-\mathsf A(\Gamma)</math>
는 '''일반화 카르탕 행렬'''이라고 한다. (만약 <math>\Gamma</math>가 SU(2)의 유한 부분군의 [[매케이 화살집]]이라면, 이는 해당 ADE형 [[아핀 리 대수]]의 [[카르탕 행렬]]과 같다.)

== 성질 ==
나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 [[초켈러 다양체]]를 이룬다.

== 예 ==
=== ALE 공간 ===
<math>\Gamma</math>가 SU(2)의 유한 [[부분군]]의 [[매케이 화살집]](즉, 해당 ADE형의 확장 [[딘킨 도표]])라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 [[딘킨 도표]] 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, [[인접 행렬]] <math>\mathsf A(\Gamma)</math>는 대각 성분이 0인 정수 계수 [[대칭 행렬]]이다.

이제,
:<math>|v\rangle\in(1-\mathsf A(\Gamma))=|1\rangle</math>
:<math>\langle1|v\rangle = 1</math>
인 <math>|v\rangle\in\mathbb C^{\operatorname V(\Gamma)}</math>를 고를 수 있다. 여기서 <math>|1\rangle\in\mathbb C^{\operatorname V(\Gamma)}</math>은 자명한 표현에 대응되는 [[매케이 화살집]] 꼭짓점에 대한 [[단위 벡터]]이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 <math>|v\rangle</math>를 유일하게 결정한다. 그렇다면
:<math>\mathcal M(|v\rangle,|1\rangle)</math>
은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 [[점근 국소 유클리드 공간]]({{llang|en|asymptotically locally Euclidean [ALE] space}})이다. 즉, 이 경우
:<math>\dim_{\mathbb C}\mathcal M(\Gamma,|v\rangle,|1\rangle) = 2</math>
이다.

이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 <math>\zeta \in \mathbb R^3</math>는 ALE공간의 크기를 결정한다. <math>\zeta\to0</math> 극한은 ALE 공간이 [[오비폴드]] <math>\mathbb R^4/G</math>로 가는 극한에 해당한다.

=== ADHM 작도 ===
{{본문|ADHM 작도}}
<math>\Gamma</math>가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 [[화살집 (수학)|화살집]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>E = \hom(V,V) \oplus \hom(V,W) </math>
:<math>\mathrm T^*E = \hom(V,V) \oplus \hom(V,V) \oplus \hom(V,W) \oplus \hom(W,V)</math>
이다. 이 경우
:<math>\dim_{\mathbb R}\mathcal M(v,w) = 4vw</math>
인 [[초켈러 다양체]]를 얻는다. 이는 순간자수가 <math>k</math>인 <math>\operatorname{SU}(w)</math> [[양-밀스 순간자]]의 [[모듈라이 공간]]이며, 이는 [[ADHM 작도]]와 같다.

이 밖에도, ALE 공간 위의 [[양-밀스 순간자]]의 [[모듈라이 공간]]도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 <math>\Gamma</math>는 SU(2) 유한 부분군 <math>G</math> [[매케이 화살집]]이며, <math>|v\rangle</math>와 <math>|w\rangle</math>는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, <math>w</math>는 순간자가 [[기본군]] <math>\pi_1(\mathbb R^4/G) \cong G</math>를 돌았을 때의 [[홀로노미]]를 묘사하며, <math>v</math>는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 <math>G</math>의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다.

=== 원환 다양체 ===
만약 모든 <math>i\in\operatorname V(\Gamma)</math>에 대하여 <math>\langle i|v\rangle = 1</math>이라면 (즉, 모든 <math>V_i</math>의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 [[원환면]]
:<math>G = \operatorname U(1)^{|\operatorname V(\Gamma)|}</math>
이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 [[원환 다양체]]의 특수한 경우이다.<ref>{{서적 인용|이름=Dániel|성=Joó|제목=Toric quiver varieties|url=http://www.etd.ceu.hu/2015/joo_daniel.pdf|날짜=2015|기타=박사 학위 논문 (지도 교수 Mátyás Domokos)|출판사=Central European University|언어=en|access-date=2019-07-13|archive-date=2019-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20190713171007/http://www.etd.ceu.hu/2015/joo_daniel.pdf|url-status=}}</ref>

== 역사 ==
나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머({{llang|en|Peter B. Kroneimer}})와 나카지마 히라쿠({{llang|ja|{{ruby-ja|中島 啓|なかじま ひらく}}}}, 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 [[양-밀스 순간자]]의 [[ADHM 작도]]를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Peter B.|성=Kronheimer|이름2=Hiraku|성2=Nakajima|제목=Yang–Mills instantons on ALE gravitational instantons|doi=10.1007/BF01444534|저널=Mathematische Annalen|issn=0025-5831|날짜=1990|권=288|호=1|쪽=263–307|언어=en}}</ref>
이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 [[화살집 (수학)|화살집]]에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Hiraku|성=Nakajima|제목=Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac–Moody algebras|저널=Duke Mathematical Journal|doi=10.1215/S0012-7094-94-07613-8|권=76|날짜=1994|ㅗ=2|쪽=365–416|mr=1302318|zbl=0826.17026|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=NakajimaQuiverVariety|title=Nakajima quiver variety}}
* {{nlab|id=quiver varieties|title=Quiver varieties}}

[[분류:대수다양체]]
[[분류:이론물리학]]
[[분류:그래프 이론]]