나눗셈환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[환론]]에서 '''나눗셈환'''(-環, {{llang|en|division ring}}) 또는 '''비가환체'''(非可換體, {{llang|en|skew field}})는 모든 0이 아닌 원소가 [[가역원]]인 비[[자명환]]이다. 나눗셈환 위에는 오른쪽 나눗셈 <math>a/b=ab^{-1}</math>과 왼쪽 나눗셈 <math>b\backslash a=b^{-1}a</math>를 정의할 수 있다 (<math>b\ne 0</math>).

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을  '''나눗셈환'''이라고 한다.
* <math>R</math>의 모든 0이 아닌 원소는 [[가역원]]이며, <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니다.
* <math>R</math>는 정확히 두 개의 [[왼쪽 아이디얼]]을 갖는다.
* <math>R</math>는 정확히 두 개의 [[오른쪽 아이디얼]]을 갖는다.
* <math>R</math>는 정확히 두 개의 [[양쪽 아이디얼]]을 갖는다.
* <math>R</math> 위의 모든 [[왼쪽 가군]]이 [[자유 가군]]이며, <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니다.
* <math>R</math> 위의 모든 [[오른쪽 가군]]이 [[자유 가군]]이며, <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니다.

== 성질 ==
모든 가환 나눗셈환은 [[체 (수학)|체]]이다. [[웨더번 정리]]에 따라, 모든 유한 나눗셈환은 [[유한체]]이다. 나눗셈환의 모든 [[유한환|유한]] 부분환은 (나눗셈환이므로) [[유한체]]이다.

나눗셈환의 [[환의 중심|중심]]은 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉, 나눗셈환은 스스로의 중심 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.

따라서, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:[[체 (수학)|체]] = [[가환환]] ∩ 나눗셈환 ⊊ 나눗셈환 ⊊ [[단순환]] ∩ [[국소환]] ⊊ [[환 (수학)|환]]

=== 가군과 아이디얼 ===
나눗셈환에 대한 [[가군]]은 모두 [[자유 가군]]이며, 사실상 [[선형대수학]]으로 완전히 다룰 수 있다.

나눗셈환에서는 [[왼쪽 아이디얼]] · [[오른쪽 아이디얼]] · [[양쪽 아이디얼]]의 개념이 일치하며, 영 아이디얼 <math>(0)</math>과 전체 아이디얼 <math>R</math>밖에 없다. 따라서, 나눗셈환은 자명하게 [[아르틴 환]]이자 [[뇌터 환]]이다.

=== 화뤄겅 정리 ===
나눗셈환 <math>D</math> 속의 두 [[가역원]] <math>a,b\in D\setminus\{0,1\}</math>에 대하여, '''화뤄겅 항등식'''({{llang|en|Hua’s identity}})은 다음과 같다.
:<math>a-\frac1{1/a+(1/b-a)^{-1}}=aba</math>
이 항등식은 다음과 같이 간단하게 증명할 수 있다.
:<math>(a - aba)\left(\frac1a + \frac1{b^{-1} - a}\right) = ab\left(\frac1b - a\right)\left(\frac1a + \frac1{b^{-1} - a}\right) = 1</math>
이를 사용하여, 다음과 같은 '''화뤄겅 정리'''({{llang|en|Hua’s theorem}})를 증명할 수 있다. 두 나눗셈환 사이의 [[함수]] <math>f\colon D\to D'</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[환 준동형]] <math>D\to D'</math> 또는 [[환 준동형]] <math>D\to D'^{\operatorname{op}}</math>을 정의한다. (여기서 <math>(-)^{\operatorname{op}}</math>는 [[반대환]]을 뜻한다.)
* <math>f</math>는 다음 세 조건들을 만족시킨다.
** <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>
** <math>f(1)=1</math>
** <math>f(a^{-1})=f(a)^{-1}\qquad\forall a\ne0</math>
화뤄겅 항등식과 화뤄겅 정리는 [[화뤄겅]]이 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=On the Automorphisms of a sfield|이름=Loo-Keng|성=Hua|저자링크=화뤄겅|pmid=16588911|pmc=1063044|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|날짜=1949-07|권=35|호=7|쪽=386-389|doi=10.1073/pnas.35.7.386|언어=en}}</ref>

== 분류 ==
[[아르틴 환|아르틴]] 나눗셈환 (즉, [[환의 중심|중심]] 위의 유한 차원 [[단위 결합 대수]]를 이루는 나눗셈환)에 대해서는 [[아르틴-웨더번 정리]]와 [[브라우어 군]]을 통한 분류가 존재한다.

<math>A</math>는 [[아르틴 환|양쪽 아르틴]] [[단순환]]이므로, [[아르틴-웨더번 정리]]에 의하여, <math>K</math> 위의 단위 결합 대수 <math>A</math>는 표준적으로 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>A\cong\operatorname{Mat}(n;D)</math>
여기서 <math>n\in\mathbb N</math>은 [[자연수]]이며, <math>D</math>는 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[단위 결합 대수]]인 나눗셈환이다. <math>K</math> 위의 중심 단순 대수들은 <math>K</math>-[[텐서곱]]에 의하여 [[모노이드]]를 이룬다.

만약 <math>K</math> 위의 단위 결합 대수 <math>A\cong\operatorname{Mat}(m;D)</math>, <math>B\cong\operatorname{Mat}(n;D)</math>가 같은 나눗셈환 위의 행렬환이라면 서로 '''브라우어 동치'''({{llang|en|Brauer-equivalent}})라고 한다. 모든 브라우어 동치류는 정확히 하나의 나눗셈환을 포함하며, 따라서 브라우어 동치류는 <math>K</math>-중심 단순 대수인 나눗셈환과 [[일대일 대응]]한다.

브라우어 동치 관계는 <math>K</math>-[[텐서곱]] 구조를 보존하며, 따라서 브라우어 동치류들은 [[모노이드]]를 이룬다. 또한, 이 모노이드는 항상 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이 군을 '''브라우어 군'''(Brauer群, {{llang|en|Brauer group}}) <math>\operatorname{Br}(K)</math>이라고 한다. 브라우어 군에서의 역원은 [[반대환]] <math>D^{-1}=D^{\operatorname{op}}</math>이며, 항등원은 <math>K</math> 자체이다.

== 예 ==
모든 [[체 (수학)|체]]([[실수체]], [[복소수체]], [[p진수체]], [[유한체]] 등)는 나눗셈환이다.

대표적인 체 위의 브라우어 군은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 체 <math>K</math> || 브라우어 군 <math>\operatorname{Br}K</math>
|-
| [[대수적으로 닫힌 체]] || [[자명군]]
|-
| [[유한체]] <math>\mathbb F_{p^n}</math> || [[자명군]]
|-
| 실수체 <math>\mathbb R</math> || 2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>
|-
| [[p진수체]] <math>\mathbb Q_p</math> || 덧셈군 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>
|-
| [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math> || <math>\operatorname{Br}(\mathbb R)\oplus\bigoplus_{p=2,3,5,\dots}\operatorname{Br}(\mathbb Q_p)</math>의 [[몫군]]
|}

=== 실수체 위의 나눗셈환 ===
실수체 <math>\mathbb R</math>의 브라우어 군은 크기가 2인 군이다. 즉, 실수체를 중심으로 하는 유한 차원 나눗셈 대수는 정확히 두 개가 있으며, 이는 실수체 자체 <math>\mathbb R</math>와 [[사원수환]] <math>\mathbb H</math>이다. 실수체의 [[유한 확대]]는 [[복소수체]] <math>\mathbb C</math> 밖에 없고, 이는 [[대수적으로 닫힌 체]]이므로 <math>\mathbb C</math>를 중심으로 하는 아르틴 나눗셈 대수는 <math>\mathbb C</math> 자체 밖에 없다. 즉, <math>\mathbb R</math> 위의 아르틴 나눗셈 대수는 <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> 세 개 밖에 없다. 이를 '''프로베니우스 정리'''({{llang|en|Frobenius’ theorem}})라고 한다.<ref name="Hungerford">{{서적 인용
  | 성 = Hungerford
  | 이름 = Thomas W.
  | 제목 = Algebra
  | 판=5
  | 출판사 = Springer
  | 날짜 = 1989
  | isbn = 978-0-387-90518-1
  | 언어=en
}}</ref>{{rp|461}}

실수체의 유한 차수 확대는 복소수체 <math>\mathbb C</math>밖에 없으며, 이는 [[대수적으로 닫힌 체]]이므로 브라우어 군이 자명하다. 즉, 중심이 실수체를 포함하는, 유한 실수 차원의 나눗셈환은 <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> 세 개밖에 없다.

=== p진수체 위의 나눗셈환 ===
소수 <math>p</math>에 대하여, p진수체 <math>\mathbb Q_p</math>의 브라우어 군은 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>와 동형이다. (이는 [[유체론]]을 사용하여 계산할 수 있다.) 즉, <math>\mathbb Q_p</math>를 중심으로 하는 유한 차원 나눗셈환들은 가산 무한 개이다. <math>[1/n]\in\mathbb Q/\mathbb Z</math>에 대응하는 나눗셈환의 차원은 <math>n^2</math>이다.

=== 수체 위의 나눗셈환 ===
[[유체론]]에 따르면, 일반적인 [[대수적 수체]] <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 군의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\operatorname{Br}K\to\bigoplus_\nu\operatorname{Br}K_\nu\to \mathbb Q/\mathbb Z\to0</math>
여기서 <math>\textstyle\bigoplus_\nu</math>는 <math>K</math>의 모든 [[위치 (수론)|위치]]들에 대한 [[직합]]이며, 군 준동형
:<math>\operatorname{Br}K\to\bigoplus_\nu\operatorname{Br}K_\nu</math>
는
:<math>\otimes KK_\nu\colon\operatorname{Br}K\to\operatorname{Br}K_\nu</math>
들의 직합이다.

예를 들어, 유리수체의 경우 위치는 0 또는 소수 <math>p</math>에 대응하며, 이 경우
:<math>\operatorname{Br}\mathbb Q_0=\operatorname{Br}\mathbb R\cong\frac12\mathbb Z/\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname{Br}\mathbb Q_p\cong\mathbb Q/\mathbb Z</math>
이므로,
:<math>\operatorname{Br}\mathbb Q\cong\left(\frac12\mathbb Z/\mathbb Z\oplus\bigoplus_p\mathbb Q/\mathbb Z\right)/(\mathbb Q/\mathbb Z)</math>
이다. 여기서 몫군의 분모인 부분군 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>는
:<math>\vec a=(a_0,a_2,a_3,a_5,\dots)\in\frac12\mathbb Z/\mathbb Z\oplus\bigoplus_p\mathbb Q/\mathbb Z</math>
:<math>a_0\in\{0,1/2\}</math>
:<math>a_p\in\mathbb Q/\mathbb Z</math>
가운데,
:<math>|\{p\colon a_p\not\equiv 0\pmod1\}|<\aleph_0</math>
:<math>\sum_{\nu=0,2,3,5,\dots}a_\nu\equiv 0\pmod1</math>
인 것들로 구성된 부분군이다.

=== 유한체 위의 나눗셈환 ===
'''웨더번 소정리'''(Wedderburn小定理, {{llang|en|Wedderburn’s little theorem}})에 따르면, [[유한환]]인 나눗셈환은 모두 [[유한체]]이다.<ref name="Hungerford"/>{{rp|462}} 사실, [[유한환]]인 [[영역 (환론)|영역]]은 모두 유한체이다. (이는 [[영역 (환론)|영역]] <math>R</math>에서, 임의의 0이 아닌 원소 <math>r\in R\setminus\{0\}</math>는 [[단사 함수]] <math>r\cdot\colon D\setminus\{0\}\to D\setminus\{0\}</math>를 정의하며, <math>D</math>가 [[유한 집합]]일 경우 이는 [[전단사 함수]]가 되기 때문에 <math>D</math>가 항상 나눗셈환이 되기 때문이다.)

특히, 유한체의 브라우어 군은 자명군이다.

[[아르틴 환]] 조건을 생략하면 비가환 나눗셈환들이 존재한다. 예를 들어, [[형식적 로랑 급수]]들의 집합 <math>\mathbb F_{p^2}((t))</math>에, 표준적인 환 구조와 다른 환 구조를 다음과 같이 부여하자.
:<math>ta=a^pt\qquad\forall a\in\mathbb F_{p^2}</math>
즉, 로랑 급수환을 [[프로베니우스 자기 동형]] <math>a\mapsto a^p</math>에 대하여 뒤틀은 것이다. 이는 <math>\mathbb F_{p^2}</math>를 [[환의 중심|중심]]으로 하는 가산 무한 차원 비가환 나눗셈환이다.

== 역사 ==
1878년에 독일의 수학자 [[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]는 프로베니우스 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=84|날짜=1878|쪽=1–63|이름=Georg|성=Frobenius|저자링크=페르디난트 게오르크 프로베니우스|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002156709|언어=de}}</ref>

[[스코틀랜드]]의 수학자 [[조지프 웨더번]]은 1905년에 웨더번 소정리의 증명을 발표하였지만,<ref>{{저널 인용|이름=J. H. |성=MacLagan-Wedderburn|저자링크=조지프 웨더번 |제목=A theorem on finite algebras|날짜=1905-07-01 |url=https://archive.org/details/jstor-1986226 |mr=1500717|저널=Transactions of the American Mathematical Society|doi=10.1090/S0002-9947-1905-1500717-7|언어=en}}</ref> 이 증명은 결함이 있었다.<ref>{{저널 인용 | last = Parshall | first = Karen V. H. | 날짜 = 1983 | title = In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H. M. Wedderburn, Leonard E. Dickson, and Oswald Veblen | journal = Archives of International History of Science | volume = 33 | pages = 274–299|언어=en }}</ref> [[미국]]의 수학자 [[레너드 유진 딕슨]]이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.

브라우어 군은 [[리하르트 브라우어]]가 1920~1930년대에 정의하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Skew-field}}
* {{eom|title=Brauer group}}
* {{매스월드|id=DivisionAlgebra|title=Division algebra}}
* {{nlab|id=skewfield|title=Skewfield}}
* {{nlab|id=Brauer group}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Division_Ring|제목=Definition: division ring|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Wedderburn's_Theorem|제목=Wedderburn's theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2011/09/24/wedderburns-little-theorem-1/|제목=Wedderburn’s little theorem (1)|이름=Yaghoub|성=Sharifi|날짜=2011-09-24|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2011/09/24/wedderburns-little-theorem-2/|제목=Wedderburn’s little theorem (2)|이름=Yaghoub|성=Sharifi|날짜=2011-09-24|언어=en}}

[[분류:환론]]
[[분류:대수]]