나눗셈군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''나눗셈군'''(-群, {{llang|en|divisible group}})은 양의 [[정수]]에 대한 [[나눗셈]]이 정의될 수 있는 [[아벨 군]]이다. [[정수환]] 위의 [[단사 가군]]이며, [[아벨 군]]의 범주에서의 [[단사 대상]]이다.

== 정의 ==
[[영역 (환론)|영역]] 위의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 일치하며, 이 조건을 만족시키는 [[왼쪽 가군]]을 왼쪽 '''나눗셈 가군'''(-加群, {{llang|en|divisible module}})이라고 한다.<ref name="Lam"/>{{rp|70, Definition (3.16)}}
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{ann}_R(\{r\})=\{s\in R\colon sr=0\}\subseteq\operatorname{ann}_R(\{m\})=\{s\in R\colon sm=0\}</math>라면 <math>r\tilde m=m</math>인 <math>\tilde m\in M</math>이 존재한다.  (다만, 이러한 <math>\tilde m</math>은 유일하지 않을 수 있다.)
* 모든 왼쪽 [[주 아이디얼]] <math>Rr</math> 및 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>f\colon Rr\to M</math>에 대하여, <math>\tilde f|_{Rr}=f</math>인 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>f\colon R\to M</math>이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
0&\to&Rr&\to&R\\
&&\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists\\
&&M\\
\end{matrix}</math>
둘째 조건은 [[단사 가군]]의 베어 조건을 임의의 [[왼쪽 아이디얼]]에서 왼쪽 [[주 아이디얼]]로 약화시킨 것이다. 첫째 조건에 따라, 왼쪽 나눗셈 가군에서 만약 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여 <math>\operatorname{ann}_R(\{r\})\subseteq\operatorname{ann}_R(\{m\})</math>이라면 (특히, <math>r\in R</math>가 [[오른쪽 영인자]]가 아니라면), <math>m</math>의 <math>r</math>에 대한 나눗셈
:<math>r^{-1}m\in M/\ker_M(r\cdot)</math>
을 정의할 수 있다.

([[영역 (환론)|영역]]이 아닌 환의 경우 일부 문헌에서는 다른 정의를 사용한다.)

[[아벨 군]]의 개념은 [[정수환]] 위의 [[가군]]의 개념과 [[동치]]이다. 정수환 위의 가군에 대하여 [[단사 가군]]의 개념과 나눗셈 가군의 개념이 일치하며, 이를 '''나눗셈군'''이라고 한다. 이는 [[아벨 군]]의 아벨 범주에서의 [[단사 대상]]과 같다. 즉, 만약 나눗셈군 <math>G\subset H</math>가 다른 아벨 군 <math>H</math>의 부분군이라면, <math>H=G\oplus H'</math>인 <math>H'</math>가 존재한다.

==성질==
[[영역 (환론)|영역]]([[영인자]]가 없는 환) 위의 왼쪽 가군에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 임의의 <math>r\in R\setminus\{0\}</math>에 대하여 <math>rM=M</math>이다. 즉, 임의의 <math>m\in M</math> 및 <math>r\in R</math>에 대하여, <Math>r\tilde m=m</math>인 <math>\tilde m\in M</math>이 존재한다. (다만, 이러한 <math>\tilde m</math>은 유일하지 않을 수 있다.)
* 나눗셈 가군이다.

[[영역 (환론)|영역]] 위의 나눗셈 가군은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.<ref name="Lam"/>{{rp|71}}
* (임의의 부분 가군에 대한) [[몫가군]]
* (무한 또는 유한) [[직접곱]]
* (무한 또는 유한) [[직합]]
그러나 나눗셈 가군은 [[부분 가군]]에 대하여 닫혀 있지 않다. 예를 들어, <math>\mathbb Q</math>는 나눗셈군이지만 <math>\mathbb Z\subset\mathbb Q</math>는 나눗셈군이 아니다.

모든 [[단사 가군]]은 나눗셈 가군이다. [[영역 (환론)|영역]] <math>R</math>에서, 만약 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 [[주 아이디얼]]이라면, 나눗셈 가군의 개념은 [[단사 가군]]의 개념과 일치한다.<ref name="Lam"/>{{rp|71, Corollary (3.17)′}}

[[가환환]] <math>R</math>의 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m\subsetneq R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|96, Theorem 3.72}}
* [[체 (수학)|체]] <math>R/\mathfrak m</math>은 <math>R</math>-[[단사 가군]]이다.
* [[체 (수학)|체]] <math>R/\mathfrak m</math>은 <math>R</math>-나눗셈 가군이다.
* [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak m}</math>은 [[체 (수학)|체]]이다.

(가환) [[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999|언어=en}}</ref>{{rp|73, Corollary (3.24)}}
* 나눗셈 가군의 개념이 [[단사 가군]]의 개념과 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 [[데데킨트 정역]]이다.
[[정역]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>에 대하여, 임의의 <math>r\in R\setminus\{r\}</math> 및 <math>m\in M\setminus\{0\}</math>에 대하여 <math>rm\ne0</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|73, Proposition 3.25}}
* <math>M</math>은 단사 가군이다.
* <math>M</math>은 나눗셈 가군이다.

== 분류 ==
모든 나눗셈군 <math>D</math>는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>D= \mathbb Q^{\oplus\kappa_0}\oplus\bigoplus_p\mathbb Z[p^\infty]^{\oplus\kappa_p}</math>
여기서 <math>\textstyle\bigoplus_p</math>는 모든 [[소수 (수론)|소수]]에 대한 [[직합]]이며, <math>\kappa_0</math> 및 <math>\kappa_p</math>는 [[기수 (수학)|기수]]이며, <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>는 [[프뤼퍼 군]]({{llang|en|Prüfer group}})
:<math>\mathbb Z(p^\infty)=\{\exp(2\pi i m/p^n) \colon m,n\in\mathbb Z^+\}</math>
이다.

특히, [[꼬임 부분군]]이 [[자명군]]인 나눗셈군은 [[유리수]] 위의 [[벡터 공간]]밖에 없다.

이 분류는 [[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] 위의 [[단사 가군]]의 분류의 특수한 경우이다.

== 예 ==
[[체의 표수|표수]]가 0인 [[체 (수학)|체]]의 덧셈군은 나눗셈군이다. 보다 일반적으로, [[체의 표수|표수]]가 0인 [[체 (수학)|체]] 위의 [[벡터 공간]]의 덧셈군은 나눗셈군이다. 일반적으로, 표수가 0인 체 <math>K/\mathbb Q</math> 위의 <math>d</math>차원 벡터 공간 <math>V</math>는 위 분류에 따라 다음과 같다.
:<math>V\cong \mathbb Q^{[K:\mathbb Q]\dim_KV}</math>
여기서 <math>[K:\mathbb Q]</math>는 [[체의 확대의 차수]]이며, <math>\dim_KV</math>는 [[벡터 공간]]의 차원이며, 곱셈은 [[기수 (수학)|기수]]의 곱셈이다. 예를 들어, [[실수체]] <math>\mathbb R</math>의 덧셈군은 위 분류에 따라 <math>\mathbb Q</math>의 <math>2^{\aleph_0}</math>개의 [[직합]]과 동형이다.

유리수체의 덧셈군의 몫군 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>는 위 분류에 따라 모든 [[프뤼퍼 군]]들의 [[직합]]과 동형이다.
:<math>\mathbb Q/\mathbb Z\cong\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty)</math>

[[다항식환]] <math>\mathbb Z[x]</math> 위의 [[가군]] <math>\mathbb Q(x)/\mathbb Z[x]</math>는 (나눗셈 가군의 [[몫가군]]이므로) 나눗셈 가군이지만, [[단사 가군]]이 아니다.<ref name="Lam"/>{{rp|73}}

== 같이 보기 ==
* [[단사 대상]]
* [[단사 가군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Divisible group}}
* {{매스월드|id=DivisibleModule|author=Margherita Barile|title=Divisible module}}
* {{nlab|id=divisible group|title=Divisible group}}

{{전거 통제}}

[[분류:아벨 군론]]
[[분류:가군론]]