꼬임군 (위상수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|꼬임 부분군|위상수학에서의 꼬임군(braid group)|대수학에서 유한 차수의 원소들의 군(torsion group)}}

[[위상수학]]에서 '''꼬임군'''(-群, {{llang|en|braid group}})은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 [[군 (수학)|군]]이다. [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 일반화로 볼 수 있다.

== 정의 ==
''n''가닥의 '''꼬임군''' <math>\operatorname{Braid}(n)</math>은 다음과 같은 [[군의 표시|표시]]를 갖는 [[유한생성군]]이다. 꼬임군의 원소들을 '''꼬임'''({{llang|en|braid}})이라고 한다.
:<math>\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle</math>
첫 번째 관계에서는 <math>i=1,2,\dots,n-2</math>이고, 두 번째 관계에서는 <math>|i-j|\ge2</math>이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. <math>\sigma_i</math>를 <math>i</math>번째 가닥과 <math>i+1</math>번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어, <math>\operatorname{Braid}(4)</math>의 생성원은 다음과 같다.
:{| style="text-align:center"
|-
| style="padding: 1em" | [[파일:braid s1.png]]
| style="padding: 1em"| [[파일:braid s2.png]]
| style="padding: 1em"| [[파일:braid s3.png]]
|-
| σ<sub>1</sub> || σ<sub>2</sub> || σ<sub>3</sub>
|}
이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.
:{| style="text-align:center"
|-
| [[파일:braid s3.png]]
| style="padding:1em" | ·
| [[파일:braid s2.png]]
| style="padding:1em" | =
| [[파일:braid s3s2.png]]
|-
| <math>\sigma_3</math> || · || <math>\sigma_2</math> || = || <math>\sigma_3\sigma_2</math>
|}
이 경우, 군 표시에서의 관계
:<math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math>
:<math>\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\qquad(|i-j|\ge2)</math>
는 꼬임의 합성의 [[호모토피]]적 동치 관계이다.

=== 무한 꼬임군 ===
꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\operatorname{Braid}(n)\hookrightarrow\operatorname{Braid}(n+1)</math>
:<math>\sigma_i^{(n)}\mapsto\sigma_i^{(n+1)}</math>
이렇게 하여, [[귀납적 극한]]을 취하면 '''무한 꼬임군''' <math>\operatorname{Braid}(\infty)</math>을 얻는다.
:<math>\operatorname{Braid}(\infty)=\varinjlim_n\operatorname{Braid}(n)</math>

=== 드오르누아 순서 ===
꼬임군 <math>\operatorname{Braid}(n)</math> 위에는 '''드오르누아 순서'''({{llang|en|Dehornoy order}})라는 [[전순서]]가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은 <math>\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}</math>들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한 <math>i\in\{1,\dots,n-1\}</math>가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.
* 문자열은 <math>\sigma_i</math>를 포함한다.
* 모든 <math>j<i</math>에 대하여, 문자열은 <math>\sigma_j</math>를 포함하지 않는다.
* 모든 <math>j\le i</math>에 대하여, 문자열은 <math>\sigma_j^{-1}</math>를 포함하지 않는다.
이러한 원소들의 집합을 <math>P</math>라고 하면, <math>PP\subseteq P</math>이며, 꼬임군은
:<math>\operatorname{Braid}(n)=P\sqcup P^{-1}\sqcup\{1\}</math>
이다.

== 성질 ==
꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든 <math>n\ge2</math>에 대하여, <math>\operatorname{Braid}(n)</math>은 두 개의 원소로 생성되는 [[자유군]]을 부분군으로 갖는다.

=== 몫군 ===
꼬임군의 [[아벨화]]는 [[무한 순환군]]이다.
:<math>\operatorname H_1(\operatorname{Braid}(n),\mathbb Z)=\mathbb Z</math>
구체적으로, 이는 다음과 같다.
:<math>\sigma_i\mapsto 1\qquad(i=1,\dots,n-1)</math>
:<math>\sigma_i^{-1}\mapsto -1\qquad(i=1,\dots,n-1)</math>

꼬임군은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]을 다음과 같이 [[몫군]]으로 갖는다.
:<math>\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{Sym}(n)=\operatorname{Sym}(\{1,2,\dots,n\})</math>
:<math>\sigma_i\mapsto(i,i+1)\qquad(i=1,\dots,n-1)</math>
:<math>\sigma_i^{-1}\mapsto(i,i+1)\qquad(i=1,\dots,n-1)</math>

=== 중심 ===
<math>n\ge3</math>일 때, 꼬임군 <math>\operatorname{Braid}(n)</math>의 [[군의 중심|중심]]은 다음과 같은 원소로 생성되는 [[무한 순환군]]이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1010.0321|제목=Basic results on braid groups|언어=en}}</ref>{{rp|§4.3}}
:<math>\left(\sigma_1(\sigma_2\sigma_1)\cdots(\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\cdots\sigma_1)\right)^2</math>
<math>n\le2</math>일 경우, 꼬임군은 [[아벨 군]]이므로 군 전체가 중심이다.

== 예 ==
낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 꼬임군 !! 동형인 군
|-
|-
| <math>\operatorname{Braid}(0)</math> || [[자명군]]
|-
| <math>\operatorname{Braid}(1)</math> || [[자명군]]
|-
| <math>\operatorname{Braid}(2)</math> || [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>
|-
| <math>\operatorname{Braid}(3)</math> || [[세잎매듭]]의 [[매듭군]] <math>\pi_1(S^3\setminus 3_1)</math>, [[모듈러 군]]의 [[중심 확대]]
|}

=== 3차 꼬임군 ===
3가닥의 꼬임군 <math>\operatorname{Braid}(3)</math>은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 [[세잎매듭]] 3<sub>1</sub>의 [[매듭군]] <math>\pi_1(S^3\setminus 3_1)</math>과 동형이며, 또 [[모듈러 군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>의 [[중심 확대]]이다. 이 경우 다음과 같은 [[가환그림]]이 존재한다.
:[[파일:Braid-modular-group-cover.svg]]
여기서 <math>\overline{\operatorname{SL}(2;\mathbf R)}</math>은 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 [[범피복 공간|범피복군]]이다. 모듈러 군은 [[군의 중심|중심]]이 없으므로, 따라서 모듈러 군은 <math>\operatorname{Braid}(n)</math>의 그 [[군의 중심|중심]]에 대한 [[몫군]]과 동형이다.
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)=\operatorname{Braid}(n)/\operatorname Z(\operatorname{Braid}(n))</math>

== 같이 보기 ==
* [[매듭 이론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Kassel|이름=Christian|공저자=Vladimir Turaev|제목=Braid groups|url=https://archive.org/details/braidgroups0000kass|출판사=Springer|날짜=2008|isbn=0-387-33841-1|언어=en}}
*{{저널 인용 | last=Deligne | first=Pierre | 저자링크=피에르 들리뉴 | 제목=Les immeubles des groupes de tresses généralisés | url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1972-11-26_17_4/page/n30 | doi=10.1007/BF01406236 | mr=0422673 | zbl=0238.20034|날짜=1972 | journal=Inventiones Mathematicae | issn=0020-9910 | volume=17 | pages=273–302 | issue=4 | 언어=fr}}
* {{저널 인용|성=Birman|이름=Joan|공저자=Tara E. Brendle|arxiv=math/0409205|제목=Braids: a survey|날짜=2005|bibcode=2004math......9205B|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Carlucci|이름=Lorenzo|공저자=Patrick Dehornoy, Andreas Weiermann|arxiv=0711.3785|제목=Unprovability results involving braids|zbl=1225.03079|bibcode=2007arXiv0711.3785C|doi= 10.1112/plms/pdq016|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|권=102|호=1|쪽=159–192|날짜=2011|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Braid theory| first=A.V. | last=Chernavskii }}
* {{nlab|id=braid group|title=Braid group}}
* {{매스월드|id=Braid|title=Braid}}
* {{매스월드|id=BraidGroup|title=Braid group}}
* {{매스월드|id=BraidWord|title=Braid word}}
* {{매스월드|id=BraidIndex|title=Braid index}}

{{전거 통제}}

[[분류:매듭 이론]]