꼬리 시그마 대수 문서 원본 보기

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[[확률론]]에서 '''꼬리 사건'''(꼬리事件, {{llang|en|tail event}})은 어떤 [[확률 변수]]들의 열이 주어졌을 때, 처음 유한 개의 변수들의 값들을 잊더라도 나머지 ‘꼬리’만으로 그 여부를 결정할 수 있는 사건이며, '''꼬리 시그마 대수'''(꼬리σ代數, {{llang|en|tail sigma-algebra}})는 이러한 사건들로 구성된 [[시그마 대수]]이다. '''콜모고로프 0-1 법칙'''(Колмогоров0-1法則, {{llang|en|Kolmogorov zero–one law}})에 따르면, 모든 꼬리 사건들은 [[거의 확실하게]] 발생하거나 [[거의 확실하게]] 발생하지 못한다 (즉, 그 확률이 0 또는 1이다).

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>
* <math>\mathcal F</math> 속의 부분 [[시그마 대수]]들의 [[가산 집합]] <math>(\mathcal F_i\subseteq\mathcal F)_{i\in I}</math>. (이는 [[유한 집합]] 또는 [[가산 무한 집합]]일 수 있다.)
또한, <math>(\mathcal F_i)_{i\in I}</math>가 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이라고 하자. 즉, 임의의 [[유한 집합|유한]] 부분 집합 <math>J\subseteq I</math>에 대하여,
:<math>\Pr\left(\bigcap_{j\in J}S_j\right) = \prod_{j\in J}\Pr(S_j)\qquad(\forall j\in J\colon S_j\in \mathcal F_j)</math>
이다.

이제, [[가측 집합]] <math>S\in\mathcal F</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''꼬리 사건'''({{llang|en|tail event}})이라고 한다.
* 임의의 [[유한 집합]] <math>J \subseteq I</math>에 대하여, <math>S \in \sigma(\textstyle\bigcup_{i\in I \setminus J}\mathcal F_i)</math>
꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를
:<math>\tau(\mathcal F_i)_{i\in I}</math>
라고 하며, <math>(\mathcal F_i)_{i\in I}</math>의 '''꼬리 시그마 대수'''라고 한다.
즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 [[확률 변수]]들(로 정의되는 [[시그마 대수]])의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

== 성질 ==
'''콜모고로프 0-1 법칙'''에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 유한 부분 집합 <math>J\subseteq I</math>에 대하여, 꼬리 시그마 대수 <math>\tau</math>는
:<math>\tau\subseteq\sigma(\textstyle\bigcup_{i\in I \setminus J}\mathcal F_i)</math>
이므로, <math>\{\tau\} \cup \{\mathcal F_j\}_{j\in J}</math>는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,
:<math>\{\tau\} \cup \{\mathcal F_i\}_{i\in I}</math>
는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히, <math>\tau</math>는
:<math>\sigma\left(\bigcup_{i\in I}\mathcal F_i\right)</math>
와 독립이다. 그런데
:<math>\tau\subseteq\sigma\left(\bigcup_{i\in I}\mathcal F_i\right)</math>
이다. 따라서, <Math>\tau</math>는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소 <math>T\in \tau</math>에 대하여
:<math>\Pr(T) = \Pr(T)\Pr(T)</math>
이며, <math>x^2 = x</math>의 두 해는 0 및 1이다. 따라서, <math>\Pr(T) \in \{0,1\}</math>이다.
</div></div>
이 정리는 만약 <math>I</math>가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. (이 경우 <math>\tau</math>는 <math>\sigma(\textstyle\bigsqcup_{I\setminus I}\mathcal F_i) = \sigma(\varnothing) = \{\varnothing, \Omega\}</math>의 부분 시그마 대수이게 된다.)

== 같이 보기 ==
* [[보렐-칸텔리 보조정리]]
* [[휴잇-새비지 0-1 법칙]]
* [[긴 꼬리]]

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://math.uchicago.edu/~may/REU2017/REUPapers/McNamara.pdf | 제목=Kolmogorov’s zero–one law with applications | 이름=Declan |성=McNamara | 언어=en}}

[[분류:확률론]]