깎은 정팔면체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{반정다면체 정보|반정다면체 정보 표|tO}}

'''깎은 정팔면체'''는 [[정팔면체]]의 각 [[꼭짓점]]을 잘라내어 만든 [[다면체]]이다. 현대적인 [[목제 주령구]]의 모습은 여기에서 정사각형 면을 크게 키운 형태이다. [[깎은 정육면체]]와 비슷하게 면의 수는 14개, [[모서리]]의 수는 36개, [[꼭짓점]]의 수는 24개이다. 깎인 정삼각형 면은 [[깎은 정사면체]]와 [[깎은 정이십면체]]처럼 [[정육각형]] 모양이 나오고 꼭짓점을 깎은 부분은 각각 [[정사각형]] 모양의 면이 나온다.

==부피와 겉넓이==

=== 부피 ===
한 [[모서리]]의 길이가 <math>a</math>인 깎은 정팔면체의 [[부피]] <math>V</math>는 다음과 같다.

깎은 정팔면체의 부피는 본래 한 변의 길이가 3a인 [[정팔면체]]의 부피에서, 한 변의 길이가 a인 6개의 [[사각뿔|정사각뿔]] 부피를 뺀 값이다. 따라서 깎은 정팔면체의 부피를 구하려면, 한 변의 길이가 3a인 [[정팔면체]]의 부피와 한 변의 길이가 a인 [[사각뿔|정사각뿔]]의 부피가 필요하다.

한 변의 길이가 3a인 [[정팔면체]]는, 한 변의 길이가 3a인 두 개의 [[사각뿔|정사각뿔]]을 180도 회전시켜 붙인 형태이므로, 한 변의 길이가 3a인 [[사각뿔|정사각뿔]] 부피에 2를 곱한 값이 된다. 한 변의 길이가 3a인 [[사각뿔|정사각뿔]]의 부피를 구하기 위해서는 밑 면의 [[넓이]](<math>S</math>)와 [[높이]](<math>h</math>)가 필요하다. 밑면의 넓이(<math>S</math>)는 한 변의 길이가 3a이므로, <math>S=(3a)^2=9a^2</math>이다. 높이(<math>h</math>)의 경우 피타고라스 정리를 이용하여<math>\sqrt{(3a)^2 - (3\sqrt{2} a / 2)^2} = 3\sqrt{2}a / 2</math>으로 계산할 수 있다.

따라서 [[부피]] <math>V</math>는 <math>V = 1/3 \times S \times h \times 2 = 1/3 \times 9a^2 \times 3\sqrt{2}a/2 \times 2 = 9\sqrt{2}a^3</math>이다.

한 변의 길이가 a인 정사각뿔이므로 [[넓이]](<math>S</math>)가 <math>S=a^2
</math> , 높이(<math>h</math>)는<math>h=\sqrt{(a)^2 - (\sqrt{3}a/2)^2} = \sqrt{2}a/2</math>이다. 따라서 정사각뿔의 부피는<math>V = 1/3 \times a^2 \times \sqrt{2}a/2 = \sqrt{2} a^3 /6</math>이다. 따라서 깎은 정팔면체의 [[부피]](<math>h</math>)는 <math>V = 9\sqrt{2} a^4 - 6 \times \sqrt{2} a^3/6 = 8\sqrt{2} a^3 \approx 11.3137 a^3</math>이다.

:
:<math>\therefore V = 8\sqrt{2} a^3</math>

=== 겉넓이 ===
깎은 정팔면체의 [[겉넓이]]는 8개의 [[육각형]]과 6개의 [[정사각형]]의 [[넓이]]를 더한 값이다. 각 도형의 넓이를 계산한 뒤 총 겉넓이를 구하면 깎은 정팔면체의 겉넓이는 다음과 같다.

<math>8(3\sqrt{3} a^2 /2) + 6(a^2) = 12\sqrt{3}a^2 + 6a^2 = (12\sqrt{3}+6)a^2 \approx 26.7846 a^2</math>

깎은 정팔면체의 표면적은 다음과 같이 설명될 수 있다.

모든 다각형의 면적을 합산한 결과로 얻어지는 6개의 깎은 정팔면체는 13개의 [[아르키메데스의 다면체]] 중 하나로, 이는 두 종류 이상의 [[정다각형]]이 꼭짓점에 서 만나는 반규칙적인 [[다면체]]를 의미한다. 즉, 두 개 이상의 서로 다른 [[정다각형]] ([[정사각형]]과 정육각형 등) 면이 꼭짓점에서 만나며, 이러한 형태는 고도로 대칭적이면서 준정규적인 특성을 지닌다. 고도로 대칭적이라는 것은 다면체가 여러 방향에서 보았을 때 동일한 형태를 유지한다는 의미이다. 다시 말해, 회전하거나 반사되더라도 그 구조가 변하지 않는 특징을 말한다. 준정규적이라는 것은 모든 면이 동일한 정다각형으로 구성된 [[정다면체|정규 다면체]]와 달리, 두 종류 이상의 [[정다각형]]으로 이루어져 있지만, 꼭짓점에서 만나는 방식 이 규칙적이라는 것을 뜻한다. 이 깎은 팔면체의 [[쌍대다면체|쌍대 다면체]]는 사팔면체로, 이는 다면체의 각 면의 중심을 연결하여 만들어진 대응 다면체이다. [[쌍대다면체|쌍대 다면체]]에서는 면과 꼭짓점의 위치가 서로 반대가 된다. 잘린 팔면체와 사팔면체는 모두 정팔면체와 동일한 3차원 대칭군, 즉 정팔면체 의 [[대칭군 (군론)|대칭군]] (<math>O_h</math>)를 공유한다. [[대칭군 (군론)|대칭군]]은 [[다면체]]가 [[회전]]이나 [[반사 (기하학)|반사]]와 같은 변환을 했을 때, 그 변환들이 이루는 수학적 구조를 가리킨다. 깎은 팔면체는 [[정팔면체]]처럼 다양한 회전과 반사 대 칭을 가지며, 이를 설명하는 수학적 대칭 구조가 바로 (<math>O_h</math>)이다. 각 꼭짓점에서는 하나의 [[정사각형]]과 두 개의 [[정육각형]]이 만나며, 이러한 배치 는 정점 도형으로 <math>4\cdot6^2</math>로 나타낼 수 있다. 정점 도형은 하나의 꼭짓점에서 만나게 되는 다각형들의 배열을 설명하는 것으로, 여기서는 한 꼭짓점에서 하나의 [[정사각형]](4)과 두 개의 [[육각형|정육각형]](6²)이 만나고 있음을 나타낸다.

== 이면각 ==

=== 정육각형 사이의 이면각 ===
깎은 정팔면체 (truncated octahedron)는 [[정팔면체]]에서 각 꼭짓점을 절단하여 만들어지므로, [[정육각형]]들 사이의 [[이면각]]은 정팔면체에서 삼각형 면 사이의 이면각과 동일하다.
[[파일:정팔면체 이면각.png|섬네일|정팔면체 이면각]]
정팔면체에서 면 ABC와 면 BFC 사이의 [[이면각]]을 구해보자.

꼭짓점 A에서 선분 BC에 내리 수선의 발을 M, 꼭짓점 A에서 면 BCDE에 내린 [[수선의 발]]을 H라하고 [[정팔면체]]의 한 변의 길이를 2라하자.

이때 <math>\overline{AM} = \sqrt{3}</math>, <math>\overline{MH} = 1</math>이므로<br /><math>\cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} </math><br /><math>\cos\theta = 2\cos \left( \frac{\theta}{2} \right)^2-1 = 2\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )-1 = -\frac{1}{3}</math><br />따라서 <math>\theta = \arccos\left ( -\frac{1}{3} \right )\approx 109.47^\circ</math>이다.

=== 정육각형과 정사각형 사이의 이면각 ===
정육각형과 정사각형 사이의 이면각은 정팔면체에서 삼각형과 사각형 사이의 이면각에 해당한다. 빠진 [[정사각뿔]]에서 삼각형 ABC와 사각형 BCDE 사이의 이면각을 <math>\alpha</math> 라 한다면, 깎은 정팔면체에서 [[정육각형]]과 [[정사각형]] 사이의 이면각 <math>\theta = \pi-\alpha</math>이다.

<math>\cos \theta = \cos (\pi-\alpha) = -\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}</math> 따라서 <math> \arccos\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ) \approx125.26^\circ</math>이다.
== 공간을 채우는 다면체로서 ==
깎은 정팔면체 (truncated octahedron)는 4차원의 [[:en:Permutohedron|페르뮤토헤드론 (permutohedron)]]으로 설명될 수 있으며, 4차 페르뮤토헤드론 (4-permutohedron)이라고도 한다. 페르뮤토헤드론은 좌표들의 [[순열|순열 (permutation)]]로 만들어진 다면체로, 숫자나 좌표들의 순서를 바꿔 꼭짓점을 형성하는 것이 특징이다. 여기서 4개의 대칭 좌표(1, 2, 3, 4)의 모든 순열이 3차원 부분 공간에서 깎은 정팔면체의 꼭짓점을 형성할 수 있으며, ( x + y + z + w = 10 )을 만족한다. 예를 들 어, 좌표의 순열 (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4) 등의 다양한 순열을 통해 꼭짓점이 형성된다. 따라서 각 꼭짓점은 (1, 2, 3, 4)의 순열에 해당 하고, 각 변은 두 요소의 단순한 쌍방 교환을 나타낸다. 쌍방 교환 이란 두 요소를 서로 교체하는 것을 의미하며, 이를 통해 변들이 연결된다. 깎은 정팔면체는 이 과정을 통해 대칭성을 가지며, [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>S_4</math>를 가진다. S_4는 4개의 요소의 모든 순열을 다루는 대칭 그룹 으로, 좌표들이 교환될 때의 변환 관계를 설명한다. 절두 정사면체는 또한 공간을 타일링하는 데 사용될 수 있다. 이는 [[:en:Plesiohedron|플레시오헤드론]](plesiohedron)으로 분류되며, 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 특성을 가진다. 플레시오헤드론은 회전 없이도 평행 이동 만으로 공간을 채울 수 있는 특성을 가지고 있으며, 이는 [[:en:Parallelohedron|평행헤드론]](parallelohedron)의 특성을 포함한다. 평행헤드론은 회전하지 않 고 평행 이동만으로 공간을 채울 수 있는 다면체로, 절두 정사면체 는 그 중 하나이다. 깎은 정팔면체는 또한 [[:en:Delone_set|델론 집합]](Delone set)과 관련이 깊다. 델론 집합은 일정한 규칙을 따르는 점들의 배열로, 깎은 정 팔면체는 그 [[보로노이 다이어그램|보로노이 셀]](Voronoi cell) 중 하나로 정의될 수 있다. [[보로노이 다이어그램|보로노이 셀]]이란, 주어진 점에서 가장 가까운 영역을 나타내며, 델론 집합은 이를 기반으로 공간을 나누는 효율적인 방법을 제공한다. 절 두 정사면체는 이러한 델론 집합에서 중요한 역할을 하는 다면체 중 하나로, 이를 통해 공간을 효율적으로 채울 수 있다. 결론적으로, 깎은 정팔면체는 페르뮤토헤드론과 같은 대칭 구조와 대칭군을 바탕으로 하며, 델론 집합을 통해 공간을 채우는 중요한 역할을 수행하는 다면체이다.

== 비슷한 다면체 ==

{| class="wikitable"
|[[파일:hexahedron.jpg|100px]]<br />[[정육면체]]
|[[파일:truncatedhexahedron.jpg|100px]]<br />[[깎은 정육면체]]
|[[파일:Cuboctahedron.svg|100px]]<br />[[육팔면체]]
|[[파일:truncatedoctahedron.jpg|100px]]<br />깎은 정팔면체
|[[파일:Octahedron.svg|100px]]<br />[[정팔면체]]
|}
{{아르키메데스의 다면체}}


[[분류:아르키메데스의 다면체]]