깎은 정이십면체 문서 원본 보기

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{{infobox polyhedron|name=깎은 정이십면체|image=File:Truncatedicosahedron.jpg|type=아르키메데스의 다면체, 골드버그 다면체|faces=32|edges=90|vertices=60|symmetry=이십면체 대칭성|net=File:Polyhedron truncated 20 net compact.svg|dual=펜타키스 십이면체|꼭짓점 도형=File:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg}}

기하학에서 '''깎은 정이십면체'''는 [[정이십면체|정이십면체의]] 모든 꼭짓점을 깎아내어 형성되는 다면체다. 일반적으로, 깎은 정이십면체는 일반적으로 흰색 육각형과 검은색 오각형 패턴으로 이루어진 [[축구공]]을 떠올리면 이해하기 쉽다. 이 구조는 [[버크민스터 풀러]](Buckminster Fuller)가 설계한 [[측지 돔|측지돔]](geodesic dome) 구조에서 자주 사용된다. 깎은 정이십면체는 [[아르키메데스의 다면체]](Archimedean solid) 중 하나이자 골드버그 다면체(Goldberg polyhedron)의 예시다.

== 구조 ==
깎은 정이십면체는 [[정이십면체]]의 모든 꼭짓점을 깎아내어 만들 수 있다. 이 과정에서 각 변의 1/3 지점에 있는 12개의 꼭짓점이 12개의 정오각형 면을 형성하며, 원래의 20개의 삼각형 면은 정육각형으로 변환된다. 결과적으로, 이 다면체는 32개의 면, 90개의 변, 그리고 60개의 꼭짓점을 가지게 된다.

골드버그 다면체는 12개의 오각형 면과 10개의 정육각형 면을 가진 다면체를 의미한다. 골드버그 다면체에는 세 가지 종류가 있으며, 이 중 하나는 모든 꼭짓점을 반복적으로 깎아내어 형성된다. 깎은 정이십면체는 그 중 하나에 포함되며 <math>\mathrm{GP(1,1)}</math>로 표기한다.

== 특성 ==
한 모서리의 길이가 a인 깎은 정이십면체의 겉넓이 <math>A</math>와 부피 <math>V</math>는 다음과 같다.

=== <math>\begin{align}
A & = 3 \left ( 10\sqrt{3} + \sqrt{5} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \right ) a^2 \approx 72.607253a^2 \\
V & = \frac{1}{4} (125+43\sqrt{5}) a^3 \approx 55.287731a^3. \\
\end{align}</math> ===
다면체의 [[구형성]](sphericity) <math>\mathrm{\Psi}</math>는 다면체가 구와 얼마나 유사한지를 나타낸다. 같은 부피를 가지는 구의 표면적과 다면체의 표면적의 비율로 정의된다. 이 값은 0과 1 사이의 값이다. 깎은 정이십면체의 경우, 그 값은 다음과 같다.<math display="block"> \Psi = \frac{6\pi^{1/2} V}{A^{3/2}} \approx 0.9504. </math>

깎은 정이십면체에서 인접한 육각형 면 사이의 [[이면각]](dihedral angle)은 약 138.18°이며, 오각형과 육각형 사이의 이면각은 약 142.6°이다.

깎은 정이십면체는 [[아르키메데스의 다면체]]로서, 대칭성이 높고 두 가지 이상의 다른 정다각형 면이 꼭짓점에서 만나는 다면체이다. 이 다면체는 정이십면체와 같은 이십면체 대칭성을 가지며, 꼭짓점 전이성(vertex-transitivity)도 가지고 있다. 모든 꼭짓점에서 만나는 다각형 면은 하나의 오각형과 두 개의 육각형이며, 깎은 정이십면체의 [[꼭짓점 도형]](vertex figure)은 <math>\mathrm{5\cdot6^2}</math>이다. 깎은 정이십면체의 쌍대 다면체(dual polyhedron)는 [[카탈랑의 다면체]](Catalan solid)인 펜타키스 십이면체(pentakis dodecahedron)로, 깎은 정이십면체와 동일한 대칭성을 가진다.

== 깎은 정이십면체 그래프 ==
[[:en:Steinitz's_theorem|슈타이니츠의 정리(Steinitz's theorem)]]에 따르면, 깎은 정이십면체의 [[:en:N-skeleton|골격은]] 다른 볼록 다면체의 골격과 같이 [[:en:Polyhedral_graph|다면체 그래프(polyhedral graph)]]로 표현될 수 있다. 이 그래프는 [[평면 그래프]](엣지가 교차하지 않고 그릴 수 있는 그래프)이며, 두 정점을 제거해도 연결 상태가 유지되는 그래프이다. 이 그래프는 깎은 정이십면체 그래프(truncated icosahedral graph)로 알려져 있으며, 60개의 꼭짓점과 90개의 변을 가진다. 이 그래프는 또한 [[:en:Archimedean_graph|아르키메데스 그래프(Archimedean graph)]]로, 아르키메데스의 다면체 중 하나와 유사하다. 이와 더불어, 이 그래프는 각 꼭짓점에 정확히 세 개의 변이 연결되는 [[:en:Cubic_graph|큐빅 그래프(cubic graph)]]이다.

[[파일:Truncated icosahedral graph.png|섬네일|없음]]
== 활용 ==
축구와 팀 핸드볼에서 사용하는 공은 일상생활에서 깎은 정이십면체와 유사한 구형 다면체의 가장 잘 알려진 예일 것이다. 이 공은 구형에 가까운 검은색 오각형과 흰색 육각형 패턴으로 이루어져 있다. [[파일:Comparison_of_truncated_icosahedron_and_soccer_ball.png|링크=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Comparison_of_truncated_icosahedron_and_soccer_ball.png|섬네일|The truncated icosahedron (left) compared with an association football|없음]][[:en:Geodesic_dome|측지식(geodesic) 돔]]은 주로 이 기하학의 삼각형 면 분할에 기반을 두고 있으며, 전 세계에서 볼 수 있는 예시로는 [[버크민스터 풀러]]가 대중화한 구조가 있다. 예를 들어, 1985년에 발견된 풀러렌(fullerene)의 한 형태인 [[:en:Buckminsterfullerene|버크민스터]] [[:en:Buckminsterfullerene|풀러렌(Buckminsterfullerene)]]은 깎은 정이십면체 모양의 측지식(geodesic) 돔 구조를 가지는 탄소 원소의 동소체이다. 다른 공학 및 과학 응용 분야에서도 이 모양은 폭발성 충격파를 집중시키기 위해 사용된 렌즈의 구성에서 발견되며, 이는 [[:en:The_gadget|가젯(Gadget)]]과 [[:en:Fat_Man|팻 맨(Fat Man)]] [[핵무기|원자폭탄]]의 기폭 장치에 사용된다. 또한, 이 구조는 [[:en:Clathrin|클라트린(clathrin)]] 단백질에서도 발견된다

[[파일:Buckminsterfullerene_Model_in_Red_Beads.jpg|링크=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Buckminsterfullerene_Model_in_Red_Beads.jpg|섬네일|The buckminsterfullerene molecule|없음]]

== 같이 보기 ==
* [[풀러렌]]

{{아르키메데스의 다면체}}
{{토막글|기하학}}

[[분류:아르키메데스의 다면체]]