길이 거리 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[거리 공간]] 이론에서, '''길이 거리 공간'''(-距離空間, {{llang|en|length metric space}})은 두 점 사이의 거리가 두 점을 잇는 곡선들의 길이들의 하한으로 주어지는 [[거리 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|authorlink=미하일 레오니도비치 그로모프|first=Mikhail|last=Gromov|title=Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces|series=Progress in Mathematics|volume=152|publisher=Birkhäuser|year=1999|isbn=0-8176-3898-9|언어=en}}</ref><ref name="BH"/>

== 정의 ==
=== 길이를 갖는 곡선 ===
[[로비어 공간]] <math>(X,d)</math> 속의 '''곡선'''({{llang|en|curve}})
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
는 임의의 [[닫힌구간]] <Math>[a,b]\subseteq\mathbb R</math>에서 <math>X</math>로 가는 [[함수]]이다.

곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>가 주어졌을 때, 각 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 값
:<math>\operatorname{length}_n(\gamma)\stackrel{\text{def}}=\sup_{a=t_0<t_1<t_2<\dotsb<t_n=b}\sum_{i=0}^{n-1}d\left(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1})\right)
=
\begin{cases}
\sup_{a<t<b}\left(d(\gamma(a),\gamma(t))+\operatorname{length}_{n-1}(\gamma\restriction[t,b])\right)&n>1\\
d(\gamma(a),\gamma(b))&n=1
\end{cases}\in[0,\infty]</math>
를 정의할 수 있다. [[로비어 공간]]의 정의의 일부인 [[삼각 부등식]]에 의하여, 이 함수는 항상 [[증가 함수]]이다. 곡선 <math>\gamma</math>의 '''길이'''({{llang|en|length}})는 이 수열의 [[상한]]이다.<ref name="BH">{{서적 인용|제목=Metric spaces of non-positive curvature|이름=Martin R.|성1=Bridson|이름2=André|성2=Häfliger|doi=10.1007/978-3-662-12494-9|isbn=978-3-540-64324-1|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=319|issn=0072-7830|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|12, Definition 1.18}}<ref name="Mennucci">{{저널 인용|제목=On asymmetric distances|doi=10.2478/agms-2013-0004|이름=Andrea C. G.|성=Mennucci|날짜=2013|쪽=200–231|언어=en}}</ref>{{rp|202, §1.1.2}}
:<math>\operatorname{length}(\gamma)\stackrel{\text{def}}=\lim_{n\to\infty}\operatorname{length}_n(\gamma)=\sup_{n\in\mathbb Z^+}\operatorname{length}_n(\gamma)\in[0,\infty]</math>
길이가 유한한 곡선을 '''길이를 갖는 곡선'''(-曲線, {{llang|en|rectifiable curve}})이라고 한다.<ref name="BH"/>{{rp|12, Definition 1.18}}<ref name="Mennucci"/>{{rp|202, §1.1.2}}

길이의 정의에서, <math>[a,b]</math>의 [[전순서]]만을 사용하였으므로, 거리의 정의는 매개 변수의 변환에 의존하지 않는다. 즉, 임의의 전단사 [[증가 함수]]
:<math>f\colon[a,b]\to [c,d]</math>
및 곡선
:<math>\gamma\colon[c,d]\to X</math>
에 대하여,
:<math>\operatorname{length}(\gamma)=\operatorname{length}(\gamma\circ f)</math>
가 성립한다.

=== 내재적 거리 ===
[[로비어 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 다음과 같은 함수를 '''내재적 거리'''(內在的距離, {{llang|en|intrinsic distance}})라고 한다.<ref name="BH"/>{{rp|32, Definition 3.1}}<ref name="Mennucci"/>{{rp|203, Definition 1.5}}
:<math>d_{\text{I}}\colon X\times X\to[0,\infty]</math>
:<math>d_{\text{I}}(x,y)=\inf_{\gamma\in\operatorname{Curve}(x,y)}\operatorname{length}\gamma</math>
여기서 <math>\operatorname{Curve}(x,y)</math>는 <math>x</math>에서 <math>y</math>로 가는, 즉
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
:<math>\gamma(a)=x</math>
:<math>\gamma(b)=y</math>
의 꼴인 모든 곡선들의 집합이다. <math>(X,d_{\text{I}})</math> 역시 [[로비어 공간]]을 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

일반적으로 다음이 성립한다.
:<math>d(x,y)\le d_{\text{I}}(x,y)\qquad\forall x,y\in X</math>
<math>d=d_{\text{I}}</math>가 되는 [[로비어 공간]]을 '''길이 로비어 공간'''({{llang|en|length Lawvere space}})라고 하고, 추가로 [[거리 공간]]을 이룬다면 이를 '''길이 거리 공간'''({{llang|en|length metric space}})이라고 한다.<ref name="BH"/>{{rp|32, Definition 3.1}}

== 성질 ==
일반적으로 <math>d(x,y)\le d_{\text{I}}(x,y)</math>이므로, <math>d_{\text{I}}</math>-[[거리 위상]]은 <math>d</math>-[[거리 위상]]보다 더 섬세하다.

'''볼록 거리 공간'''({{llang|en|convex metric space}}) <math>(X,d)</math>는 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\ne y</math>라면
:<math>d(x,m)+d(m,y)=d(x,y)</math>
가 되는 <math>m\in X</math>가 존재하는 [[거리 공간]]이다. 모든 [[완비 거리 공간|완비]] 볼록 거리 공간은 길이 거리 공간이다.<ref>{{서적 인용
 | last1       = Khamsi
 | first1      = Mohamed A.
 | last2      = Kirk
 | first2     = William A.
 | title      = An introduction to metric spaces and fixed point theory
 | publisher  = Wiley-IEEE
 | date       = 2001
 | isbn       = 0-471-41825-0
 | 언어=en
}}
</ref>{{rp|Theorem 2.16}} (그러나 볼록 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간이 존재한다.)

=== 근사적 중점 ===
'''근사적 중점을 갖는 거리 공간'''({{llang|en|metric space with approximate midpoints}}) <math>(X,d)</math>는 다음 조건을 갖는 거리 공간이다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math> 및 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>2d(x,m)<d(x,y)+\epsilon</math>이자 <math>2d(y,m)<d(x,y)+\epsilon)</math>인 점 <math>m\in X</math>가 존재한다.
모든 길이 거리 공간은 근사적 중점을 갖는 거리 공간이다. [[완비 거리 공간]]에 대하여, 길이 거리 공간 조건과 근사적 중점을 갖는 조건은 서로 [[동치]]이다.

== 예 ==
[[연결 공간|연결]] [[리만 다양체]]의 표준적인 [[거리 공간]] 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 특히, [[유클리드 공간]] 위의 표준적인 거리 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 마찬가지로, 모든 연결 [[핀슬러 다양체]]는 길이 공간을 이룬다.

임의의 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여, 모든 내재적 거리가 유한하다면, <math>(X,d_{\text{I}})</math>는 길이 거리 공간을 이룬다.

[[이산 공간]] <math>(X,d)</math>은 다음과 같은 이산 계량을 갖는다.
:<math>d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}</math>
이산 공간 위에서 모든 곡선은 [[상수 함수]]이므로, 모든 이산 공간은 (자명하게) 길이 거리 공간을 이룬다.

=== 길이 공간이 아닌 거리 공간 ===
[[유클리드 공간]] 속의 [[초구]] <math>\mathbb S^{n-1}\subset\mathbb R^n</math>를 생각하자. 이를 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 여긴다면, 이는 길이 거리 공간을 이루지 않는다. 초구 위의 두 점 사이의 내재적 거리는 두 점을 잇는 [[대원]]의 호의 길이이다. (정확하게는 이러한 호는 두 개가 있으며, 둘 가운데 더 짧은 것을 말한다.)
:<math>d_{\text{I}}(\mathbf x,\mathbf y)=\arccos(\mathbf x\cdot\mathbf y)\in[0,\pi]\qquad(\|\mathbf x\|=\|\mathbf y\|=1)</math>

=== 완비 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간 ===
원점을 제거한 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n\setminus\{0\}</math>을 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 생각한다면, 이는 길이 거리 공간이지만 완비 거리 공간이 아니다.

=== 원순서 집합 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에 [[로비어 공간]] 구조
:<math>d(x,y)=\begin{cases}
0&x\lesssim y\\
\infty&x\not\lesssim y
\end{cases}</math>
를 주자.

그렇다면, 그 위의 임의의 곡선
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
의 길이는 다음과 같다.
* 만약 <math>\gamma</math>가 [[증가 함수]]라면 (<math>\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies \gamma(s)\lesssim \gamma(t)</math>), 그 길이는 0이다.
* 만약 <math>\gamma</math>가 [[증가 함수]]가 아니라면 그 길이는 ∞이다.
:<math>\operatorname{length}\gamma=
\begin{cases}
0&\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies\gamma(s)\lesssim\gamma(t)\\
\infty&\exists s,t\in[a,b],\;s\le t\colon \gamma(s)\not\lesssim\gamma(t)\\
\end{cases}</math>

특히, 만약 <math>(X,\lesssim)</math>가 [[이산 공간]]이라면 (<Math>x\lesssim y\implies x=y</math>) 거리가 0인 곡선은 [[상수 함수|상수 곡선]] 밖에 없으며, 다른 곡선의 길이는 ∞이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Internal metric}}
* {{eom|title=Rectifiable curve}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Length-metric_space|제목=Length-metric space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

[[분류:계량기하학]]