긴 직선 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''긴 직선'''(긴直線, {{llang|en|long line}})은 국소적으로 [[유클리드 공간]]과 [[위상동형]]이지만 [[파라콤팩트 공간]]이 아닌 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, [[곱공간]] <math>\alpha\times\mathbb R_{\ge0}</math>에 [[사전식 순서]] 및 [[순서 위상]]을 부여한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 <math>L^+_\alpha</math>라고 하자. 그렇다면, <math>L_\alpha</math>를 집합
:<math>(L_\alpha\setminus\{(0,0)\})\times\{+,-\}\sqcup\{0\}</math>
에 다음과 같은 [[전순서]] 및 [[순서 위상]]을 부여한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 정의하자.
:<math>(a,-)\le(a,+)\qquad\forall a\in L_\alpha\setminus\{(0,0)\}</math>
:<math>(a,-)\le0\qquad\forall a\in L_\alpha\setminus\{(0,0)\}</math>
:<math>0\le(a,+)\qquad\forall a\in L_\alpha\setminus\{(0,0)\}</math>
:<math>(a,-)\le(b,-)\iff a\le_{L^+_\alpha}b\qquad\forall a,b\in L_\alpha\setminus\{(0,0)\}</math>
'''긴 직선'''은 <math>L_{\omega_1}</math>이다.  여기서 <math>\omega_1</math>은 최소 비가산 순서수이다.

== 성질 ==
<math>L_\alpha</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>L_0</math>는 공집합이다.
* 만약 <math>0<\alpha<\omega_1</math>이라면, <math>L_\alpha\cong\mathbb R</math>이다.
* <math>L_{\omega_1}\not\cong\mathbb R</math>이지만, <math>L_{\omega_1}</math>은 [[국소 유클리드 공간]]이다.
* 만약 <math>\alpha>\omega_1</math>이라면, <math>L_\alpha</math>는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로, <math>(\omega_1,0,+)\in L_\alpha</math>는 유클리드 공간과 [[위상동형]]인 [[근방]]을 갖지 않는다.
<math>L_\alpha</math>의 [[집합의 크기|크기]]는
:<math>\max\{|\alpha|,2^{\aleph_0}\}</math>
이다. 특히, 긴 직선 <math>L_{\omega_1}</math>은 실수선 <math>\mathbb R</math>와 같은 크기이다.

긴 직선 <math>L_{\omega_1}</math>은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[국소 유클리드 공간]]이다.
* [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]]이다.
* [[파라콤팩트 공간]]이 아니다. (따라서 [[다양체]]가 아니다.)
* [[거리화 가능 공간]]이 아니다.
* [[경로 연결 공간]]이며, [[국소 경로 연결 공간]]이며, [[단일 연결 공간]]이다.
* [[축약 가능 공간]]이 아니다.
* [[제1 가산 공간]]이지만, [[제2 가산 공간]]이 아니며, [[분해 가능 공간]]이 아니다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/long+line|제목=Long line|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Long_line|제목=Long line|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간]]