기하 평균 문서 원본 보기

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[[파일:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG|섬네일]]
'''기하 평균'''(幾何平均, geometric mean)은 ''n''개의 양수 값을 모두 곱한 것의 ''n''제곱근이며, 어떤 지표의 평균 성장률 (예: 대한민국의 연평균성장률, 대한민국의 연평균부채증가율)을 계산할 때 주로 사용된다. 간단한 예를 들면, 3이 6으로 바뀌면 2배로 증가한 것이고, 6이 48로 바뀌면 8배로 증가한 것인데 (3 --> 6 --> 48) 이러한 증가의 기하평균은 <math>\sqrt{2 \times 8} = 4</math>이며 이걸 초기값인 3에 두번 곱하면 (즉 수가 한번 증가할 때마다 평균적으로 4배씩 증가했다고 하면) 본래 얻었던 최종값인 3 × 4<sup>2</sup> = 48이 나온다

만약 평균성장률을 [[산술평균]]으로 구하면 <math>\frac{2 + 8}{2} = 5</math> 이 되어서 이걸 초기값인 3에 곱하면 3 × 5<sup>2</sup> = 75 가 나와서 얻어야 하는 최종값과 다른 결과가 나온다.

== 정의 ==
집합 <math>\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}</math>의 기하 평균은 다음과 같다.
: <math>\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n} = (a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}</math>

어떤 초기값 <math>\alpha</math> 에 집합의 요소들을 각각 곱하면 <math>\alpha \times (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n)</math> 이 되는데 이건 <math>\alpha</math> 에 집합의 기하평균을 집합 요소의 개수만큼 곱한 것과 같다. 즉, <math>\alpha \times (\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n})^n
= \alpha \times (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n)</math>.

어떤 숫자들의 기하 평균은 그 숫자들의 [[산술 평균]]보다 [[산술-기하 평균 부등식|언제나 작거나 같으며]], 특히 모든 숫자가 같을 경우에 두 평균이 같아진다.

기하 평균은 '''산술 조화 평균'''이기도 하다. 두 [[수열]] (''a''<sub>''n''</sub>)과 (''h''<sub>''n''</sub>)을 다음과 같이 정의했을 때,
:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_1=\frac{x + y}{2}</math>
:<math>h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_1=\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}</math>
''a''<sub>''n''</sub>과 ''h''<sub>''n''</sub>은 모두 ''x''와 ''y''의 기하 평균으로 수렴한다.

== 로그의 산술평균과의 관련 ==
[[로그 (수학)#특징|로그 항등식]]을 사용해서 기하평균 공식을 변환시키면, 곱셈을 덧셈으로, 제곱을 곱셈으로 바꿔서 다음과 같은 공식을 만들 수 있다.
: <math>\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n} = \exp\left[\frac1n \sum_{i=1}^n\ln a_i\right]</math>
즉, 어떤 숫자들의 기하평균은 그 숫자들의 로그값에 대해 산술평균을 구한 뒤 [[지수 함수]]를 취한 것과 같다. 다른 말로 하면, 기하 평균은 f(n) = ln x일 때의 [[일반화된 f-평균]]이다.

== 기하평균의 필요성 ==
'''곱셈으로 계산하는 값에서의 평균'''을 계산하고자 할 때 [[산술 평균]]이 아닌 '''기하 평균'''을 사용한다. 예를 들어, 어떤 값이 처음에 1,000이고, 첫 해에 10% 증가하고, 그 다음 해에 20% 증가하고, 그 다음 해에 15% 감소했다고 할 때 결과값은 처음의 값 1,000에 1.1, 1.2, 0.85 을 곱한 값인 1,000 × (1.1 × 1.2 × 0.85) = 1,122 가 된다. 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균은 (1.1 × 1.2 × 0.85)<sup>1/3</sup> = 1.0391...이므로, 3년 동안 평균 3.91%씩 증가한 셈이고 1,000 × (1.1 × 1.2 × 0.85) = 1,000 × (1.0391)<sup>3</sup> = 1,122이다.

== 같이 보기 ==
* [[평균 (통계학)|평균<sup>1</sup>]]
* [[평균 (수학)|평균<sup>2</sup>]]
* [[산술 평균]]
* [[조화 평균]]
* [[산술기하평균]]

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/means.shtml 산술 평균과 기하 평균]
* {{언어링크|en}} [http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/geomean.html 언제 기하 평균을 사용해야 하나]
* {{언어링크|en}} [http://mathworld.wolfram.com/GeometricMean.html MathWorld의 기하 평균 설명]

{{통계학}}

{{전거 통제}}

[[분류:평균]]
[[분류:비뉴턴 미적분학]]