기하 불변량 이론 몫 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''기하 불변량 이론 몫'''(幾何不變量理論몫, {{llang|en|geometric invariant theory [GIT] quotient}})은 [[대수군]]이 작용하는 [[대수다양체]]가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다.<ref>{{저널 인용 | last1=Dieudonné | first1=Jean A. | author1-link = 장 디외도네 | last2=Carrell | first2=James B. | title=Invariant theory, old and new | doi=10.1016/0001-8708(70)90015-0 | mr = 0255525 | year=1970 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=4 | pages=1–80|언어=en}}</ref><ref name="Mumford">{{서적 인용 | last1=Mumford | first1=David | author1-link=데이비드 멈퍼드 | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=Frances | 제목=Geometric invariant theory | publisher=Springer-Verlag | 판=3 | 총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=1304906 | year=1994 | volume=34 | doi=10.1007/978-3-642-57916-5|언어=en}}</ref> 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 [[상 (수학)|상]]의 [[원상]]이 궤도 전체가 아닐 수 있다.

== 정의 ==
=== 아핀 스킴의 경우 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 체 <math>k</math>
* <math>k</math> 위의 [[아핀 스킴]] <math>X/\operatorname{Spec}k = \operatorname{Spec}A</math>
* <math>k</math> 위의 [[대수군]] <math>G/\operatorname{Spec} k</math>
* 작용 <math>G \times_k X \to X</math>
그렇다면, <math>A</math> 위에는 [[군의 작용]]
:<math>G \times A \to A</math>
:<math>(g.a)(x) = a(g^{-1}.x)</math>
이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수
:<math>A^G = \{a\in A \colon\forall g\in G\colon g.a = a\}</math>
를 정의할 수 있다. 이 역시 <math>k</math> 위의 가환 [[결합 대수]]이다.

그렇다면, <math>S</math>의 '''기하 불변량 이론 몫'''은 다음과 같다.
:<math>A /\!/ G = \operatorname{Spec}(A^G)</math>

만약 <math>A</math>가 <math>k</math> 위의 유한 생성 가환 [[결합 대수]]이며, <math>G</math>가 [[가약군]]이라면, <math>A^G</math> 역시 <math>k</math> 위의 유한 생성 가환 [[결합 대수]]이다 ('''나가타 정리''' {{llang|en|Nagata’s theorem}}).

=== 일반 스킴의 경우 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 체 <math>k</math>
* <math>k</math> 위의 [[유한형 사상|유한형 스킴]] <math>X / \operatorname{Spec}k</math>
* [[대수적 선다발]] <math>L \twoheadrightarrow X</math>
* <math>k</math> 위의 [[대수군]] <math>G / \operatorname{Spec}k</math>
* 작용 <math>G \times_k X \to X</math>
그렇다면, 이 데이터의 '''선형화'''는 <math>L</math> 위의 <math>G</math>의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.
* 임의의 <math>l\in L</math>에 대하여, <math>\pi(g. l) = g.\pi(y)</math>. 즉, 이는 각 올 <math>L_x</math>에 대하여 사상 <math>L_x \to L_x</math>를 정의한다.
* 또한, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>G\times_k L_x\to L_x</math>는 <math>k</math>-[[선형 변환]]이다.

이 경우, [[대수적 선다발]] <math>L</math>에 대하여 <math>X</math>의 [[기하점]]([[대수적으로 닫힌 체]] 계수의 [[유리점]])
:<math>\operatorname{Spec}\bar K \to X</math>
에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>x</math>를 '''준안정점'''이라고 한다.
* 어떤 양의 정수 <math>n</math> 및 <math>G</math>-불변 단면 <math>s\in \Gamma(X,\mathcal L^{\otimes n})</math>에 대하여, <math>s(x)\ne 0</math>이며 <math>\{y\in X\colon s(y) \ne 0\}</math>이 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린 부분 스킴]]이다.
만약 위 정의에 추가로 <math>\{y\in X\colon s(y)\ne 0\}</math>에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 [[닫힌집합]]이라는 조건이 추가로 성립하면 <math>x</math>를 '''[[안정점]]'''이라고 한다.

준안정점들은 [[열린 부분 스킴]]
:<math>X^{\operatorname{ss}} \subseteq X</math>
을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰 <math>N\in\mathbb N</math> 및 <math>G</math>-불변 단면
:<math>s_1,\dotsc,s_n \in \Gamma(\mathcal L^{\otimes N})</math>
에 대하여
:<math>\{x\in X\colon s_i(x)\ne0\} \cong \operatorname{Spec}R_i</math>
:<math>\bigcup_{i=1}^n\operatorname{Spec}R_i = X^{\operatorname{ss}}</math>
가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫
:<math>V_i = \operatorname{Spec}R_i^G</math>
를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여 <math>k</math> 위의 [[유한형 사상|유한형 스킴]]
:<math>X /\!/ G</math>
를 정의할 수 있다. 이를 <math>X</math>의 '''기하 불변량 이론 몫'''이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.

== 성질 ==
체 <math>k</math> 위의 유한형 스킴 <math>X</math> 및 그 위에 작용하는 대수군 <math>G</math> 및 선다발 <math>L</math> 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[안정점]]으로 구성된 [[열린 부분 스킴]] <math>X^{\operatorname{s}}</math> 및 [[준안정점]]으로 구성된 [[열린 부분 스킴]] <math>X^{\operatorname{ss}}</math>이 존재한다. 이 경우 <math>X^{\operatorname{s}}</math>의 경우 [[몫공간]]인 스킴 <math>X^{\operatorname{s}}/G</math>를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
X^{\operatorname{s}} & \hookrightarrow & X^{\operatorname{ss}} & \hookrightarrow & X \\
\downarrow && \downarrow \\
X^{\operatorname{s}} / G & \hookrightarrow & X /\!/ G
\end{matrix}</math>

== 예 ==
=== 오비폴드 ===
아핀 스킴 <math>\mathbb A^2_K = K[x,y]</math> 위의, 이산군 <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>(2차 [[순환군]])의 작용
:<math>(x,y)\mapsto (-x,-y)</math>
을 생각하자. 또한, <math>\operatorname{char}K \ne 2</math>라고 하자. 그렇다면,
:<math>\frac{[K[a,b,c]}{(ac-b^2)} \cong K[x,y]^G</math>
:<math>(a,b,c) \mapsto (x^2,xy,y^2)</math>
가 된다. 따라서
:<math>\mathbb A^2_K /\!/ \operatorname{Cyc}(2) = \operatorname{Spec}\frac{[K[a,b,c]}{(ac-b^2)}</math>
는 3차원 [[아핀 공간]] 속의 [[이차 초곡면]]이다.

=== 사영 공간 ===
체 <math>k</math>가 주어졌다고 하자.  곱셈군 <math>K^\times</math>이 [[사영 공간]] <math>X = \mathbb P^n_k</math> 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.
:<math>\lambda . [x_0:x_1:\dotsb:x_n] = [\lambda^{-n}x_0:\lambda x_1:\dotsb:\lambda x_n]</math>
그렇다면, 닫힌 점 <math>x=[x_0:\dotsb:x_n]</math>는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.
* 만약 <math>x_0 \ne 0</math>이며 <math>(x_1,\dotsc,x_n) \ne (0,\dotsc,0)</math>이라면, <math>x</math>는 [[안정점]]이다.
* 만약 <math>x = [1:0:\dotsb:0]</math>이라면, <math>x</math>는 [[안정점]]도, [[준안정점]]도 아니다.
* 만약 <math>x_0 = 0</math>이라면, <math>x</math>는 [[안정점]]도, [[준안정점]]도 아니다.
(이 경우 모든 준안정점은 [[안정점]]이다.)

즉, 이 경우 [[준안정점]]의 부분 공간은
:<math>X^{\operatorname{ss}} \cong \mathbb A^n_K \setminus \{0\}</math>
이며, 그 위의 <math>k^\times</math>의 작용은
:<math>\lambda . (x_1,\dotsc,x_n) = (\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n)</math>
이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은
:<math>X /\!/ k^\times = \mathbb P^{n-1}_k</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=geometric invariant theory|title=Geometric invariant theory}}
* {{매스월드|id=GeometricInvariantTheory|title=Geometric invariant theory}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/253379/why-is-mumfords-git-quotient-so-effective|제목=Why is Mumford’s GIT quotient so effective?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]