기하화 추측 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''기하화 추측'''(幾何化推測, {{llang|en|geometrization conjecture}})은 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]]한 3차원 다양체의 부분 다양체가 각각 기초적인 기하학적 구조들 중 하나로 해석된다는 정리이다. 이는 2차원 다양체에 대한 [[앙리 푸앵카레]]의 [[균일화 정리]]에 대응하며, 또한 [[푸앵카레 추측]]을 포함하는 서스턴의 [[타원화 추측]]의 모든 3차원 다양체에 대한 일반화이다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 (경계가 없는) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[다양체]]라고 하자. (3차원 이하에서는 [[매끄러운 다양체]]와 [[위상다양체]]의 개념이 일치한다.) [[연결합]]으로 분해될 수 없는 3차원 콤팩트 연결 다양체를 '''소 3차원 다양체'''({{llang|en|prime 3-manifold}})라고 한다. 모든 콤팩트 연결 3차원 다양체는 소 다양체로 유일하게 분해될 수 있다.

'''기하화 추측'''에 따르면, 모든 콤팩트 연결 소 3차원 [[유향 다양체]] <math>M</math>은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 유한한 수의 조각들로 분해될 수 있다.
* 각 조각은 8가지의 서스턴 기하 가운데 하나를 기하 구조로 가지며, 서스턴 기하로서 유한한 부피를 가진다.
* 각 조각들 사이의 경계는 2차원 [[원환면]]이다.
비가향 콤팩트 3차원 다양체의 경우, 그 유향 2중 [[피복 공간]]을 취하여 마찬가지로 분류할 수 있다.

== 서스턴 기하 ==
'''모형 기하'''(模型幾何, {{llang|en|model geometry}}) <math>(M,G,\cdot)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[튜플]]이다.
* <math>M</math>은 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[매끄러운 다양체]]이다.
* <math>G</math>는 [[리 군]]이다.
* <math>\cdot\colon G\times M\to M</math>는 <math>G</math>의 <math>M</math> 위의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[추이적 작용]]이며, 그 [[안정자군]]은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이다.
주어진 다양체 <math>M</math> 위의 모형 기하 <math>(M,G,\phi)</math>들은 <math>G</math>의 포함 관계에 따라 [[부분 순서]]를 가지며, 이 포함 관계에 대하여 항상 극대 원소가 존재한다. 이러한 모형 기하를 '''극대 모형 기하'''({{llang|en|maximal model geometry}})라고 한다.

다양체 <math>M</math> 위의 '''기하 구조'''(幾何構造, {{llang|en|geometric structure}}) <math>(M,X,G,\cdot,\Gamma,\phi)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[튜플]]이다.
* <math>M</math>은 다양체이다.
* <math>(X,G,\cdot)</math>는 극대 모형 기하이다.
* <math>\Gamma</math>는 <math>G</math>의 이산 [[부분군]]이며, <math>\cdot|_\Gamma</math>는 <math>X</math> 위에 [[자유 작용]]을 이룬다.
* <math>\phi\colon M\to X/\Gamma</math>는 [[미분동형사상]]이다.

'''서스턴 기하'''(Thurston幾何, {{llang|en|Thurston geometry}})는 그 대칭군 <math>G</math> 및 작용의 [[안정자군]]이 다음과 같은 8개 목록 가운데 하나인 극대 모형 기하이다.
{| class="wikitable"
|-
! 이름 !! [[리 군]] !! [[안정자군]]
|-
| [[초구]] 기하({{llang|en|spherical geometry}}) || <math>\operatorname{O}(4,\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{O}(3,\mathbb R)</math>
|-
| 유클리드 기하({{llang|en|Euclidean geometry}}) || [[유클리드 군]] <math>\mathbb R^3\rtimes\operatorname{O}(3;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{O}(3;\mathbb R)</math>
|-
| [[쌍곡공간]] 기하({{llang|en|hyperbolic geometry}}) || [[로런츠 군]] <math>\operatorname{O}^+(1,3;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{O}(3;\mathbb R)</math>
|-
| 구면 기둥 기하 || <math>\operatorname{O}(3;\mathbb R)\times\mathbb R\times(\mathbb Z/2)</math> || <math>\operatorname{O}(2;\mathbb R)\times(\mathbb Z/2)</math>
|-
| 쌍곡 기둥 기하 || <math>\operatorname{O}^+(1,2;\mathbb R)\times\mathbb R\times(\mathbb Z/2)</math> || <math>\operatorname{O}(2,\mathbb R)\times(\mathbb Z/2)</math>
|-
| [[2차원 실수 특수선형군|SL(2,R)]] 기하 || <math>(\mathbb R\times\operatorname{\widetilde{SL}}(2;\mathbb R))/\mathbb Z</math>의 2겹 [[피복군]] || <math>\operatorname{O}(2;\mathbb R)</math>
|-
| [[영다양체|영기하]]({{llang|en|nil geometry}}) || <math>\operatorname{H}(3;\mathbb R)\rtimes\operatorname{O}(2;\mathbb R)</math> ([[하이젠베르크 군]]과 원군의 [[반직접곱]]) ||<math>\operatorname{O}(2;\mathbb R)</math>
|-
| [[해다양체|해기하]]({{llang|en|solv geometry}}) || 2차원 [[푸앵카레 군]] <math>\mathbb R^2\rtimes\operatorname{O}(1,1)</math>의 2겹 [[피복군]] ||<math>\operatorname{Dih}(8)</math> (8개의 원소의 [[정이면체군]])
|}

== 역사 ==
이 추측은 [[윌리엄 서스턴]]의 1982년 논문에서 제기되었다. 서스턴은 자신의 추측을 쌍곡 기하학을 갖는 [[하켄 다양체]](H<sup>3</sup>)에 한정해 증명한 공로로 [[필즈상]]을 받았다. 흔히 [[푸앵카레 추측]]의 증명으로 알려진 [[그리고리 페렐만]]의 2003년 논문과 보충 논문은 실제로 기하화 추측 전반을 증명하는데, 페렐만은 2차원의 [[리만 계량]] 텐서로 얻는 [[리치 흐름]] 텐서를 변형하였다. 이 방법은 [[리처드 S. 해밀턴]]이 1981년 논문에서 제기하고 1988년에 2차원에 적용하여 균일화 정리를 증명한 방식과 같았다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|이름=Michael T.|성=Anderson|제목=Geometrization of 3-manifolds  via the Ricci flow|url=http://www.ams.org/notices/200402/fea-anderson.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2004-02|권=51|호=2|쪽=184–193|zbl=1161.53350|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds|이름=John W.|성=Morgan|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=1|쪽=57–78|mr=2115067|zbl=1100.57016|doi=10.1090/S0273-0979-04-01045-6 |날짜=2005|issn=0273-0979|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=G. Peter|성=Scott|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~pscott/8geoms.pdf|제목=The geometries of 3-manifolds|저널=Bulletin of the London Mathematical Society|권=15|날짜=1983|호=5|쪽=401–487|zbl=0561.57001|doi=10.1112/blms/15.5.401|issn=0024-6093|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=L.|성=Bessières|저자2=G. Besson|저자3=M. Boileau|저자4=S. Maillot|저자5=J. Porti|제목=Geometrisation of 3-manifolds|총서=European Mathematical Society Tracts in Mathematics|권=13|출판사=European Mathematical Society|날짜=2010|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~lbessier/book.pdf|zbl=1244.57003|isbn=978-3-03719-082-1|언어=en|확인날짜=2011년 2월 11일|보존url=https://web.archive.org/web/20110717204619/http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~lbessier/book.pdf|보존날짜=2011년 7월 17일|url-status=dead}}
* {{서적 인용|title=The geometrization conjecture| last = Morgan  | first =  John W.|저자2=Gang Tian|isbn= 978-0-8218-5201-9|series=Clay Mathematics Monographs|volume=5|날짜=2014|publisher=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CMIM-5|zbl=06304942|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ThurstonsGeometrizationConjecture|title=Thurston's geometrization conjecture}}
* {{웹 인용|url=http://athome.harvard.edu/threemanifolds/|제목=The geometry of 3-manifolds|이름=Curtis T.|성=McMullen|저자링크=커티스 맥멀런|언어=en|날짜=2006-10-11|형식=비디오|웹사이트=Science Center Research Lecture Series|출판사=[[하버드 대학교]]|확인날짜=2010-01-20|보존url=https://web.archive.org/web/20100127081050/http://athome.harvard.edu/threemanifolds/|보존날짜=2010-01-27|url-status=dead}}

[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:추측]]
[[분류:3-다양체]]