기하학 단위계 문서 원본 보기

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'''기하학 단위계''' 또는 '''기하학화 단위계'''는 [[빛의 속력|진공]]에서의 [[빛의 속력|빛]]의 [[빛의 속력|속도]] ''c'' 와 [[중력 상수]] ''G''가 같도록 측정단위를 설정한 [[측정 단위|물리 단위계]]이다. 

: <math> c = 1 \ </math>
: <math> G = 1 \ </math>

기하학 단위계는 완벽히 정의된 단위계는 아니다. [[스토니 단위계]]와 [[플랑크 단위계]] 등의 단위계도 중력상수나 진공에서의 빛의 속도뿐만 아니라 다른 [[물리 상수]]도 통합한다는 점에서 기하학 단위계 중 하나라고 볼 수 있다. 

기하학 단위계는 [[물리학]], 특히 [[특수 상대성이론]]과 [[일반 상대성이론]]에서 유용하게 쓰인다. 모든 [[물리량]]은 면적, 길이, 스칼라, 경로 곡률, 단면 곡률과 같은 기하학적 양과 동일하다. 

많은 상대론적 물리학의 방정식은 기하학적 단위로 표현될 때 더 단순 해진다. ''G''와 ''c''가 모두 생략될 수 있기 때문이다''.'' 예를 들어, 비회전 비충전 [[블랙홀]]의 [[슈바르츠실트 반지름]]은 질량이 ''m''일 때 {{개행 금지|1=''r'' = 2''m''}}이 된다. 이런 이유로 많은 상대론적 물리학의 책과 학술지에서 기하학 단위를 사용한다. [[입자물리학|입자 물리학]]과 [[물리 우주론]]에서는 {{개행 금지|1=8π''G'' = 1}}인 기하학 단위계를 사용한다. 뉴턴의 [[만유인력의 법칙]]의 식에는 8π가 인자로 추가되지만, [[아인슈타인 방정식]], [[아인슈타인-힐베르트 작용]], [[프리드만 방정식]], 뉴턴식 [[푸아송 방정식]]은 단순해진다. 

== 정의 ==
기하학 단위에서, 시간은 해당 시간동안 빛이 이동한 거리로 해석된다. 즉, 1[[초 (시간)|초]]는 1[[광초]]로 해석돼서, 시간이 [[길이]]의 기하학 단위를 가진다. 이것은 시간과 거리가 동등하다는 [[특수 상대성이론]]의 [[운동학]] 법칙의 개념과 들어맞는다. 

[[에너지]]와 [[운동량]]은 [[사차원 운동량]] 벡터의 구성 요소로 해석되고, [[질량]]은 이 벡터의 크기이므로 기하학적 단위에서는 에너지, 운동량, 질량 모두 길이의 단위를 가진다. 킬로그램으로 표현된 질량에 변환 계수 ''G''/''c''<sup>2</sup>을 곱해서 미터로 표현할 수 있다. 예를 들어, SI 단위계에서의 [[태양]]의 질량 {{val|2.0|e=30|u=kg}}은 {{val|1.5|u=km}}로 표현할 수 있다. {{Val|1.5|u=km}}는 1 태양 질량 [[블랙홀]]의 [[슈바르츠실트 반지름]]의 절반이다. 다른 모든 변환 계수를 통해서도 두가지 단위를 변환할 수 있다. 

변환 계수 크기가 작은 것은 큰 질량이나 빠른 속도에서만 상대론적 효과가 눈에 띈다는 사실을 반영한다.

== 전환 ==
아래의 목록은 모든 SI단위계와의 조합 사이의 모든 변환 계수를 나타내고 있다. 원자나 입자같은 [[아보가드로 수]]만큼의 물질의 양만 나타내는 몰과 다르게, [C/s]와 같이 두 길이의 무차원 비로 나타나는 암페어, 두 무차원 단위의 비로 나타나는 칸델라 (1/683[W/sr]), 두 부피의 비로 나타나는 [kg⋅m<sup>2</sup>/s<sup>3</sup>] = [W], 두 면적의 비로 나타나는 [m<sup>2</sup>/m<sup>2</sup>]=[sr]은 무차원의 비로 나타나기 때문에 서로 전환될 수 없다.

<br />

{| class="wikitable center"
|-
!
! m
! kg
! s
! C
! K
|-
! scope="col" | '''m'''
| 1
|''c''<sup>2</sup>/''G'' [kg/m]
|1/''c'' [s/m]
|''c''<sup>2</sup>/(''G''/(4πε<sub>0</sub>))<sup>1/2</sup> [C/m]
|''c''<sup>4</sup>/(''Gk''<sub>B</sub>) [K/m]
|-
! scope="col" | '''kg'''
|''G''/''c''<sup>2</sup> [m/kg]
| 1
|''G''/''c''<sup>3</sup> [s/kg]
|(''G'' 4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup> [C/kg]
|''c''<sup>2</sup>/''k''<sub>B</sub> [K/kg]
|-
! scope="col" | '''s'''
|''c'' [m/s]
|''c''<sup>3</sup>/''G'' [kg/s]
| 1
|c<sup>3</sup>/(''G''/(4πε<sub>0</sub>))<sup>1/2</sup> [C/s]
|''c''<sup>5</sup>/(''Gk''<sub>B</sub>) [K/s]
|-
! scope="col" | '''C'''
|(''G''/(4πε<sub>0</sub>))<sup>1/2</sup>/''c''<sup>2</sup> [m/C]
|1/(''G'' 4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup> [kg/C]
|(''G''/(4πε<sub>0</sub>))<sup>1/2</sup>/''c''<sup>3</sup> [s/C]
| 1
|''c''<sup>2</sup>/(''k''<sub>B</sub>(''G'' 4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup>) [K/C]
|-
! scope="col" | '''K'''
|''Gk''<sub>B</sub>/''c''<sup>4</sup> [m/K]
|''k''<sub>B</sub>/''c''<sup>2</sup> [kg/K]
|''Gk''<sub>B</sub>/''c''<sup>5</sup> [s/K]
|''k''<sub>B</sub>(''G'' 4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup>/''c''<sup>2</sup> [C/K]
| 1
|}


== 기하학적 수량 ==
[[아인슈타인 텐서]]와 같은 ''곡률 텐서''의 구성 요소는 기하학 단위에서 기하학적 [[단면 곡률|곡률]]로 [[단면 곡률]]의 차원을 갖는다. [[에너지-운동량 텐서]]의 구성 요소도 마찬가지다. 따라서 [[아인슈타인 방정식]]은 이 단위와 차원이 동일하다. 

''경로 곡률''은 곡선의 곡률 벡터의 크기의 역수이므로 기하학 단위로 길이의 역수이다. 경로 곡률은 비측위 곡선이 [[시공간]]에서 구부러지는 속도를 측정하고, 시간과 같은 곡선을 일부 [[관측|관찰자]]의 [[세계선]]으로 해석하면 해당 경로 곡률은 해당 관찰자가 경험한 [[가속도]]의 크기로 해석될 수 있다. 경로 곡률로 구별할 수 있는 물리량에는 [[전자기장 텐서]]의 구성 요소가 포함된다. 

모든 [[속도]]는 곡선의 [[기울기]]로 해석할 수 있다. 기하학 단위에서, 기울기는 명백히 [[무차원 수|무차원]] 비이다. 무차원 비로 나타나는 물리량은 [[전자기 퍼텐셜]] 사차원 벡터와 [[사차원 전류]] 사차원 벡터의 성분을 포함한다. 

시간과 같은 [[민코프스키 공간|벡터]]의 크기로 구별할 수 있는 [[질량]]과 [[전하]]와 같은 물리량은 ''길이''의 기하학 차원을 갖는다. 바이 벡터의 크기로 구별할 수 있는 [[각운동량]]과 같은 물리량은 ''면적''의 기하학 차원을 갖는다. 

다음은 기하학 단위의 차원으로 중요한 물리량을 모아둔 표이다. SI 단위에 대한 적절한 변환 계수가 함께 나열되어 있다. 
{| class="wikitable"
! 양 
! SI 차원 
! 기하학 차원 
! 곱셈 계수 
|-
| [[길이]] 
| [L] 
| [L] 
| 1 
|-
| [[시간]] 
| [T] 
| [L] 
| ''c'' 
|-
| [[질량]] 
| [M] 
| [L] 
| ''G'' ''c''<sup>-2</sup> 
|-
| [[속도]] 
| [LT<sup>-1</sup>] 
| 1 
| ''c''<sup>-1</sup> 
|-
| [[각속도]] 
| [T<sup>-1</sup>] 
| [L<sup>-1</sup>] 
| ''c''<sup>-1</sup> 
|-
| [[가속도]] 
| [LT-<sup>2</sup>] 
| [L<sup>-1</sup>] 
| ''c''<sup>-2</sup> 
|-
| [[에너지]] 
| [ML<sup>2</sup> T<sup>-2</sup>] 
| [L] 
| ''G'' ''c''<sup>-4</sup> 
|-
| [[에너지 밀도]] 
| [ML <sup>-1</sup> T<sup>-2</sup>] 
| [L<sup>-2</sup>] 
| ''G'' ''c''<sup>-4</sup> 
|-
| [[각운동량]] 
| [ML<sup>2</sup> T<sup>-1</sup>] 
| [L <sup>2</sup>] 
| ''G'' ''c''<sup>-3</sup> 
|-
| [[힘 (물리)|힘]] 
| [MLT<sup>-2</sup>] 
| 1 
| ''G'' ''c''<sup>-4</sup> 
|-
| [[일률]] 
| [ML<sup>2</sup> T<sup>-3</sup>] 
| 1 
| ''G'' ''c''<sup>-5</sup> 
|-
| [[압력]] 
| [ML<sup>-1</sup> T<sup>-2</sup>] 
| [L<sup>-2</sup>] 
| ''G'' ''c''<sup>-4</sup> 
|-
| [[밀도]] 
| [ML<sup>-3</sup>] 
| [L-<sup>2</sup>] 
| ''G c-''<sup>2</sup> 
|-
| [[전하]] 
| [I T] 
| [L] 
| ''G''<sup>1/2</sup> ''c''<sup>−2</sup> 
(4πε<sub>0</sub>)<sup>-1/2</sup> 
|-
| [[전위]] 
| [ML<sup>2</sup>T<sup>-3</sup>I<sup>-1</sup>] 
| 1 
| ''G''<sup>1/2</sup> &nbsp; ''c-''<sup>2</sup> &nbsp; (4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup> 
|-
| [[전기장]] 
| [MLT<sup>-</sup>3I<sup>-</sup><sup>1</sup>] 
| [L<sup>-1</sup>] 
| ''G''<sup>1/2</sup> &nbsp; ''c-''<sup>2</sup> &nbsp; (4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup> 
|-
| [[자기장]]
| [MT<sup>-2</sup>I<sup>-1</sup>] 
| [L<sup>-1</sup>] 
| ''G''<sup>1/2</sup>&nbsp;''c''<sup>-1</sup>&nbsp;(4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup> 
|-
| [[퍼텐셜]] 
| [MLT<sup>-2</sup>I<sup>-1</sup>] 
| 1 
| ''G''<sup>1/2</sup>&nbsp;''c''<sup>-1</sup>&nbsp;(4πε<sub>0</sub>)<sup>1/2</sup> 
|}

이 표는 위에 나타낸 바와 같이 온도뿐만 아니라 다양한 모멘트와 같이 더 멀리서 기인한 물리량을 포함하도록 보충할 수 있다.

== 참고 문헌 ==

* {{서적 인용|제목=[[General Relativity (book)|General Relativity]]|성=Wald, Robert M.|저자링크=Robert Wald|연도=1984|출판사=[[University of Chicago Press]]|위치=Chicago|isbn=0-226-87033-2}} <bdi> {{서적 인용|제목=[[General Relativity (book)|General Relativity]]|성=Wald, Robert M.|저자링크=Robert Wald|연도=1984|출판사=[[University of Chicago Press]]|위치=Chicago|isbn=0-226-87033-2}} </bdi> {{서적 인용|제목=[[General Relativity (book)|General Relativity]]|성=Wald, Robert M.|저자링크=Robert Wald|연도=1984|출판사=[[University of Chicago Press]]|위치=Chicago|isbn=0-226-87033-2}} 

== 외부 링크 ==
* [http://www.physics.nist.gov/cuu/Constants/energy.html 에너지 등가물에 대한 변환 계수] 

[[분류:자연단위계]]
[[분류:일반 상대성이론]]