기하학적 양자화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학}}
[[수리물리학]]에서 '''기하학적 양자화'''(幾何學的量子化, {{llang|en|geometric quantization}})는 [[해밀턴 역학]]으로 나타내어지는 고전적 [[계 (물리학)|계]]를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 [[양자화 (물리학)|양자화]]하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.

== 정의 ==
대부분의 고전적 계는 [[해밀턴 역학]]으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>. 이는 계의 '''[[위상 공간 (물리학)|상태 공간]](phase space)'''이다.
* [[해밀토니언]] <math>H\colon M\to\mathbb R</math>. 이는 계의 [[시간 변화]]를 나타낸다.
고전적 관측가능량들은 <math>M</math> 위의 함수로 나타내어진다.

'''기하학적 양자화'''는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 [[힐베르트 공간]]을 정의한다. 이는 다음과 같다.
# 준양자화({{llang|en|prequantization}})
# 양자화
# 메타플렉틱 보정({{llang|en|metaplectic correction}})

=== 준양자화 ===
심플렉틱 형식 <math>\omega</math>가 다음과 같은 '''준양자화 조건'''(準量子化條件, {{llang|en|prequantization condition}})을 만족시킨다고 하자.
:<math>[\omega/2\pi]\in\operatorname H^2(M;\mathbb Z)</math>
즉, <math>\omega/2\pi</math>의 [[코호몰로지류]]는 정수 계수 [[코호몰로지]] 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, [[드람 코호몰로지]]는 물론 실수 계수이다.)

[[매끄러운 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 위의 '''준양자 구조'''(準量子構造, {{llang|en|prequantum structure}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>M</math> 위의 복소수 [[선다발]] <math>L\twoheadrightarrow M</math>
* <math>L</math> 위의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>
준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다.
:<math>\operatorname c_1(L)=[\omega/2\pi]</math>
:<math>F_\nabla = \mathrm i\omega</math>
여기서 <math>c_1</math>은 1차 [[천 특성류]]이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.)

<math>(M,\omega)</math>의 준양자 구조 <math>(\mathcal L,\nabla)</math>가 주어졌다면, <math>\mathcal L\to\mathcal L^{\otimes n}</math>은 <math>(M,n\omega)</math>의 준양자 구조를 이룬다. [[일반화 위치]] <math>q^i</math>를 고정시킨다면 [[일반화 운동량]]이
:<math>p_i=q_j\omega_{ij}</math>
이므로, 이는
:<math>p_i\mapsto np_i</math>
와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, [[작용 (물리학)|작용]] <math>S</math>는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는
:<math>S/\hbar\mapsto nS/\hbar=S/(\hbar/n)</math>
이다. [[양자역학]]의 파인만 [[경로 적분]]은 <math>S/\hbar</math>에만 의존하므로, 이는 [[플랑크 상수]]의 재정의
:<math>\hbar\mapsto\hbar/n</math>
으로 생각할 수 있다. 따라서, <math>n\to\infty</math> 극한은 <math>\hbar\to0</math>, 즉 반고전적({{llang|en|semiclassical}}) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

=== 양자화 ===
다양체 <math>M</math> 위의 '''극성화'''(極性化, {{llang|en|polarization}})는 다음과 같은 성질을 만족시키는, [[접다발]]의 복소화 <math>TM^{\mathbb C}</math>의 부분 벡터 다발 <math>P\subset TM^{\mathbb C}</math>이다.<ref name="BW">{{서적 인용|제목=Lectures on the geometry of quantization|출판사=American Mathematical Society|총서=Berkeley Mathematical Lecture Notes|권=8|isbn=978-0-8218-0798-9|날짜=1997|이름=Sean|성=Bates|이름2=Alan|성2=Weinstein|url=https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 7.4}}<ref>
{{저널 인용|제목=Geometric quantization|이름=William Gordon|성=Ritter|arxiv=math-ph/0208008|bibcode=2002math.ph...8008R|날짜=2002|언어=en}}</ref>{{rp|§4}}
* (적분 가능성) 모든 <math>u,v\in P</math>에 대하여, <math>[u,v]\in P</math>이다. 여기서 <math>[\cdot,\cdot]</math>는 [[리 미분]]이다.
* (극대성) <math>P</math>보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, <math>M</math>이 유한 차원이라면, <math>P</math>의 차원은 <math>\dim_{\mathbb R}P=\dim M</math>이다.)
극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 <math>(M,L,\nabla,P)</math>에 대하여, <math>\mathcal H</math>는 <math>L</math>의 [[제곱 적분 가능 함수|제곱 적분 가능]] [[단면 (올다발)|단면]] 가운데, <math>P</math>의 방향으로 일정한 단면들이다.
:<math>\mathcal H=\{s\in \operatorname L^2(M, L)\colon\nabla_Ps=0\}</math>
이는 내적을 통해 [[힐베르트 공간]]을 이룬다. 이 공간의 사영화({{llang|en|projectivization}})가 양자역학의 상태 공간이다.

여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. <math>P</math>는 적분 가능하므로, [[프로베니우스 정리]]에 따라서 [[엽층]]을 정의하며, 그 엽공간({{llang|en|leaf space}}) <math>M/P</math>를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 <math>M</math>으로부터 유도된 측도가 존재한다. <math>\nabla_Ps=0</math>을 만족시키는 단면의 경우 <math>M/P</math> 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 <math>M/P</math> 위에 유도된 측도에 대한 것이다.

=== 메타플렉틱 보정 ===
양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 '''메타플렉틱 구조'''({{llang|en|metaplectic structure}})를 정의해야 한다.

[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>의 [[접다발]] <math>TM</math>은 심플렉틱 구조로 인해 <math>\operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R)</math> 구조를 갖는다. '''메타플렉틱 군''' <math>\operatorname{Mp}(2k,\mathbb R)</math>는 <math>\operatorname{Sp}(2k,\mathbb R)</math>의 [[연결 공간|연결]] 두 겹 [[피복군]]이다. (<math>\pi_1(\operatorname{Sp}(2k,\mathbb R))=\mathbb Z</math>이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>의 '''메타플렉틱 구조'''는 접다발의 <math>\operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R)</math> 구조를 메타플렉틱 구조 <math>\operatorname{Mp}(\dim M,\mathbb R)</math>로의 올림(lift)이다. (이는 [[스핀 구조]]의 정의와 유사하다.)

준고전적 상태는 [[라그랑주 부분 다양체]] <math>N\subset M</math>과 그 위에 정의된 <math>L</math>의 단면 <math>s\in\Gamma(N,L\otimes\sqrt{\det T^*N})</math>이다. <math>s^2</math>는 <math>N</math> 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 <math>\mathcal H</math>의 원소 <math>\tilde s\in\operatorname L^2(M,L)</math>로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, [[해밀토니언]]을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 <math>f\colon M\to\mathbb R</math> 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.

특히, 이 경우 자주 선다발 <math>L</math>을 <math>L \otimes \sqrt K</math>로 대체한다. 여기서 <math>K = \textstyle\bigwedge^{\dim M}(\mathrm TM/P)^*</math>이다. 만약 <math>P</math>가 정칙 극성화라면 <math>K</math>는 [[복소다양체]]의 [[표준 인자]]에 대응되는 [[정칙 선다발]]이며, 만약 <Math>P</math>가 실수 극성화라면 <math>K</math>는 [[일반화 좌표]]의 [[매끄러운 다양체]] 위의 최고차 [[미분 형식]]의 선다발이다. 예를 들어, <math>\mathrm T^*N</math>의 실수 극성화의 경우, 상태는 <math>N</math> 위의 함수 <math>f(x)</math> 대신 <math>f(x) \sqrt{\mathrm d^{\dim N}x}</math>의 꼴이게 되며, 그 제곱 <math>|f(x)|^2\,\mathrm d^{\dim N}x</math>은 자연스럽게 <math>N</math> 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 <math>n\omega\hbar</math> 대신 <math>(n+1/2)\omega\hbar</math>가 된다.

== 극성화의 종류 ==
기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.
* <math>M</math>이 [[공변접다발]] <math>M=\mathrm T^*N</math>인 경우. 이는 [[짜임새 공간]] <math>N</math>이 존재하여, [[라그랑주 역학]]이 적용 가능한 경우다.
* <math>M</math>이 [[켈러 다양체]]인 경우.

=== 공변접다발 ===
[[공변접다발]]
:<math>M = \mathrm T^*N</math>
의 경우, 심플렉틱 미분 형식 <math>\omega=\mathrm dp_i\wedge\mathrm dq^i</math>에 대한 [[리우빌 미분 형식]]
:<math>\theta=p_i\wedge\mathrm dq^i</math>
이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, <math>\omega=\mathrm d\theta</math>는 [[완전 형식]]이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발
:<math>\mathcal L\cong M\times\mathbb C</math>
은 자명하고, 그 위에 <math>\theta</math>를 성분으로 가지는 [[코쥘 접속]]을 정의할 수 있다.

이 경우, 표준적으로
:<math>\mathrm T_{(x,p)}M \cong \mathrm T_xN \oplus \mathrm T^*_xN \qquad(x\in M,\;p\in\mathrm T^*_xM)</math>
:<math>\mathrm T_{(x,p)}M^{\mathbb C} \cong \mathrm T_xN^{\mathbb C} \oplus \mathrm T^*_xN^{\mathbb C} \qquad(x\in M,\;p\in\mathrm T^*_xM)</math>
이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.
:<math>\mathcal P=\mathrm T^*N^{\mathbb C}\subset TM^{\mathbb C}</math>
이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.

따라서 [[복소수 힐베르트 공간]]은 <math>N</math> 위의 [[르베그 공간]]
:<math>\mathcal H=\operatorname L^2(N,\mathbb C)</math>
과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은
:<math>\hat x^i\colon f\mapsto x_if</math>
:<math>\hat p_i\colon f\mapsto-i\partial_if</math>
으로 대응된다.

=== 켈러 다양체 ===
그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 <math>2\pi</math>배)인 켈러 다양체 <math>M</math>을 생각하자. 이 경우, <math>\omega/2\pi</math>에 대응하는 [[정칙 선다발]] <math>L\twoheadrightarrow M</math>이 존재하며, 그 위에 곡률이 <math>i\omega</math>인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 [[복소다양체|복소구조]]를 사용하여, 복소화 [[접다발]] <math>TM^{\mathbb C}</math>를 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>\mathrm TM^{\mathbb C}=\mathrm TM^+\oplus\mathrm TM^-</math>
여기서 <math>\mathrm TM^+</math>는 정칙 벡터장들의 다발이고, <math>\mathrm TM^-</math>는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를
:<math>\mathcal P=\mathrm TM^-</math>
로 잡을 수 있다. 이에 따라서,
:<math>\mathcal H=H^0(M,L)</math>
은 <math>L</math>의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은
:<math>\hat z^i\colon f\mapsto z^if</math>
:<math>-\mathrm i\partial_i\colon f\mapsto-\mathrm i\partial_if</math>
에 의하여 생성되고, 이들은 [[정준 교환 관계]]를 만족시킨다.

== 예 ==
=== 유클리드 공간의 공변접다발 극성화 ===
구체적으로, 위상 공간이 <math>2n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^{2n}</math>
인 계를 생각하자. 이를 [[공변접다발]]
:<math>\mathbb R^{2n}\cong T^*\mathbb R^n
=\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\}
</math>
으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜
:<math>\theta=\sum_{i=1}^np_idx_i</math>
에 대응하는 접속은 다음과 같다.
:<math>\nabla_{\partial/\partial p_i}=\frac\partial{\partial p_i}</math>
:<math>\nabla_{\partial/\partial q_i}=\frac\partial{\partial q_i}-2\pi i p_i</math>
극성화
:<math>
\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial p}\right\}
</math>
에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.
:<math>\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial p^i}=0\forall i=1,\dots,n\right\}
\cong L^2(\mathbb R^n)</math>
반대로, 운동량 방향의 극성화
:<math>
\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial x}\right\}
</math>
에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.<ref name="BW"/>{{rp|Example 7.5}}
:<math>\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial x^i}-2\pi i p_if(x)=0\forall i=1,\dots,n\right\}</math>
즉,
:<math>f(x,p)=f(p)\exp\left(2\pi i\sum_{i=1}^np_ix_i\right)</math>
의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 [[푸리에 변환]]임을 알 수 있다.

=== 유클리드 공간의 켈러 극성화 ===
평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, [[조화 진동자]]의 힐베르트 공간을 얻는다.<ref name="BW"/>{{rp|Example 7.10}}

구체적으로, 위상 공간이 <math>2n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^{2n}</math>인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.
:<math>\nabla_i=\frac\partial{\partial x_i}+x_i</math>
여기에 복소구조를 주어
:<math>\mathbb R^{2n}\cong\mathbb C^n</math>
:<math>z_i=x_i+x_{i+n},\quad i=1,\dots,n</math>
:<math>\frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right)</math>
:<math>\frac\partial{\partial\bar z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right)</math>
으로 생각하고, 켈러 극성화
:<math>\mathcal P=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\left\{\frac\partial{\partial\bar z}_1,\dots,\frac\partial{\partial\bar z}\right\}</math>
를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 [[Lp 공간|L<sup>2</sup> 함수]] <math>s\colon\mathbb C^n\to\mathbb C</math>가운데
:<math>\nabla_{\partial/\partial z}s(z,\bar z)=
\left(2\frac\partial{\partial\bar z}+z\right)s(z,\bar z)=0
</math>
인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는
:<math>s(z,\bar z)=f(z)\exp\left(-\sum_iz_i\bar z^i/2\right)</math>
의 꼴이며, 여기서 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.
:<math>\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\exp\left(-\sum_iz_i\bar z_i\right)\,d^{2n}z<\infty</math>
이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 [[다중지표]]를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.
:<math>s_\alpha=z^\alpha\exp(-z\bar z/2),\qquad \alpha\in\mathbb N^n</math>
이들은 <math>n</math>차원 [[조화 진동자]]의 <math>\alpha</math>번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 '''시걸-바르그만-포크 공간'''({{llang|en|Segal–Bargmann–Fock space}})이라고 한다.

=== 리만 구의 양자화 ===
[[리만 구]] <math>\hat{\mathbb C}</math> 위에 켈러 양자화를 가하면, [[스피너]]를 얻으며, 이는 [[비가환 기하학]]적으로 [[퍼지 구]]로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 <math>k</math>의 [[인자 (대수기하학)|인자]] <math>D</math>에 대응하는 [[선다발]] <math>\mathcal O(D)</math>로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.
:<math>\mathcal H(k)=\{f\in\Gamma(\mathcal O(D))\colon\bar\partial f=0\}</math>
이 힐베르트 공간의 차원은 [[리만-로흐 정리]]에 의하여
:<math>\dim_{\mathbb C}\mathcal H(k)=\max\{k+1,0\}</math>
이다. 이는 스핀 <math>k/2</math>의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, <math>k</math>를 <math>k-1</math>로 치환하여야 한다.)

보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 <math>\Sigma</math> 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 [[인자 (대수기하학)|인자]] <math>D</math>에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 [[층 코호몰로지]] 공간
:<math>\mathcal H(D)=H^0(\Sigma,\mathcal O(D))</math>
을 얻으며, 그 차원은 [[리만-로흐 정리]]에 의하여 계산할 수 있다.

=== 콤팩트 켈러 다양체의 양자화 ===
보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 <math>M</math> 위에, 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 곡률이 <math>k\omega</math>가 되는 복소수 [[정칙 선다발]] <math>\mathcal L^{\otimes k}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 [[층 코호몰로지]]
:<math>\mathcal H(k)=H^0(M,\mathcal L^{\otimes n})</math>
가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 <math>k</math>에 대하여 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]로 계산할 수 있다.<ref name="BW"/>{{rp|Example 7.11}}
:<math>\mathcal H(k)=\int_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M\qquad(k\gg1)</math>
여기서 <math>\operatorname{Td}M</math>은 [[토드 특성류]]이다.

특히, <math>M</math>이 복소수 <math>n</math>차원이라면
:<math>\int_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M
=\sum_{i=0}^n\int_M\frac{k^i\omega^i}{i!}\operatorname{Td}M
=k^n\int_M\omega^n/n!+\frac1{(n-1)!2}k^{n-1}\int_M\omega c_1+\cdots</math>
이 되므로, 고전 극한 <math>k\to\infty</math>에서는 힐베르트 공간의 차원이 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]의 부피 <math>\int_M(k\omega)^n/n!</math>에 수렴하는 것을 알 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Nicholas M. J.|성=Woodhouse|제목=Geometric Quantization|출판사=Oxford University Press|날짜=1997-08-28|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198502708.do|isbn=978-0-19-850270-8|series=Oxford Mathematical Monographs|mr=1183739|판=2판|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Mathematical foundations of geometric quantization|이름=Arturo|성=Echeverría-Enríquez|공저자=Miguel C. Munoz-Lecanda, Narciso Román-Roy, Carles Victoria-Monge|arxiv=math-ph/9904008|bibcode=1999math.ph...4008|저널=Extracta Mathematica|url=http://www.eweb.unex.es/eweb/extracta/Extracta_Published_volumes.html#13-2|권=13|호=2|날짜=1998|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=“Quantization is a mystery”|이름=Ivan|성=Todorov|arxiv=1206.3116|bibcode=2012arXiv1206.3116T|저널=Bulgarian Journal of Physics|권=39|호=2|쪽=107–149|url=http://www.bjp-bg.com/papers/bjp2012_2_107-149.pdf|날짜=2012|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Geometric quantization of symplectic foliations|이름=G.|성=Sardanashvily|arxiv=math/0110196|bibcode=2001math.....10196S|날짜=2001|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Xiaonan|성=Ma|장=Geometric quantization on Kähler and symplectic manifolds|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, India, 2010|쪽=785–810|장url=http://www.math.jussieu.fr/~ma/mypubli/ICM-Ma2010.pdf|zbl=1229.53088|언어=en|access-date=2013-09-25|archive-date=2013-09-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20130927221930/http://www.math.jussieu.fr/~ma/mypubli/ICM-Ma2010.pdf|url-status=}}
* {{서적 인용|장=Geometric quantization: a crash course|이름=Eugene|성=Lerman|arxiv=1206.2334|bibcode=2012arXiv1206.2334L|date=2012|doi=10.1090/conm/583/11577|제목=Mathematical Aspects of Quantization|isbn=978-0-8218-7573-5|출판사=American Mathematical Society|총서=Contemporary Mathematics|권=583|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Quantization, classical and quantum field theory and theta-functions|날짜=2002|이름=Andrey N.|성=Tyurin|bibcode=2002math.....10466T|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Symplectic reduction and Riemann–Roch formulas for multiplicities|이름=Reyer|성=Sjamaar|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=33|호=3|쪽=327–338|날짜=1996|doi=10.1090/S0273-0979-96-00661-1|mr=1364017|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Groupoids in geometric quantization|이름=Rogier David|성=Bos|기타=박사 학위 논문|isbn=978-90-9022176-2|출판사=Universal Press|날짜=2007|url=http://www.math.ru.nl/~landsman/ProefschriftRogier.pdf|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Geometric quantization|이름=John|성=Baez|날짜=2000-08-11|url=http://math.ucr.edu/home/baez/quantization.html|언어=en}}
* {{nlab|id=geometric quantization|title=Geometric quantization}}
* {{nlab|id=space of states (geometric quantization)|title=Space of states (geometric quantization)}}
* {{nlab|id=metaplectic correction (in geometric quantization)|title=Metaplectic correction (in geometric quantization)}}
* {{nlab|id=geometric quantization by push-forward|title=Geometric quantization by push-forward}}
* {{nlab|id=Guillemin-Sternberg geometric quantization conjecture}}
* {{nlab|id=geometric quantization of the 2-sphere|title=geometric quantization of the 2-sphere}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]