기하학적 랭글랜즈 대응 문서 원본 보기

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수학에서 '''기하 랭글랜즈 대응'''은 원래 [[수론]]에서의 랭글랜즈 대응에 나타나는 [[대수적 수체|수체]]를 [[유리 함수층|함수체]]로 대체하고 [[대수기하학|대수 기하학]]의 방법을 적용하여 얻은 [[랭글랜즈 프로그램|랭글랜즈 대응]]을 재구성한 것이다.{{Sfn|Frenkel|2007}} 기하학적 랭글랜즈 대응은 [[대수기하학]] 및 [[표현론 (수학)|표현론]]과 관련된다. '''기하학적 랭글랜즈 추측'''은 기하학적 랭글랜즈 대응의 존재성을 주장한다.

함수 체에 대한 [[일반선형군|일반 선형 군]]의 특정 경우에서 기하학적 랭글랜즈 대응의 존재는 2002년 [[로랑 라포르그]]에 의해 입증되었으며, 이는 [[라포르그의 정리|라포르그 정리]]의 결과로 이어진다.

== 배경 ==
수학에서 고전적인 [[랭글랜즈 프로그램|랭글랜즈 대응]]은 정수론과 표현 이론에 관한 결과와 추측의 모음이다. 1960년대 후반 [[로버트 랭글랜즈]]가 공식화한 랭글랜즈 대응은 [[페르마의 마지막 정리]]를 특별한 경우로 포함하는 타니 [[모듈러성 정리|야마-시무라 추측]]과 같은 정수론의 중요한 추측과 관련이 있다. {{Sfn|Frenkel|2007}}

랭글랜즈 대응은 [[대역체|대역 체]] 및 [[국소체|국소 체]])에 대해 공식화될 수 있으며 이는 [[대수적 수체|수체]] 또는 [[대역체|대역 함수체]]로 분류된다. 수체에 대한 고전적인 랭글랜즈 대응을 설정하는 것은 매우 어려운 것으로 입증되었다. 결과적으로 일부 수학자들은 대역 함수 체에 대한 기하학적 랭글랜즈 대응을 제안했는데, 이는 어떤 의미에서 다루기가 더 쉽다는 것이 입증되었다. {{Sfn|Frenkel|2007}}

함수체 <math>K</math> 위의 [[일반선형군|일반 선형 군]] <math>GL(n,K)</math>에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 [[블라디미르 드린펠트]]와 제라르 라우몬이 1987년에 공식화했다.{{Sfn|Frenkel|2007}}<ref>{{저널 인용|제목=Correspondance de Langlands géométrique pour les corps de fonctions|저널=[[Duke Mathematical Journal]]|성=Laumon|이름=Gérard|저자링크=Gérard Laumon|연도=1987|권=54|쪽=309-359}}</ref>

== 상태 ==
1983년에 [[피에르 들리뉴]]가 <math>GL(1)</math>에 대해, [[블라디미르 드린펠트|드린펠트]]가 <math>GL(2)</math>에 대해 기하학적인 랭글랜즈 추측이 증명했다. {{Sfn|Frenkel|2007}}<ref>{{저널 인용|제목=Two-dimensional ℓ–adic representations of the fundamental group of a curve over a finite field and automorphic forms on GL(2)|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1983-02_105_1/page/n90|저널=[[American Journal of Mathematics]]|성=Drinfeld|이름=Vladimir G.|저자링크=Vladimir Drinfeld|연도=1983|권=105|쪽=85–114}}</ref>

[[로랑 라포르그]]는 2002년에 함수 체 <math>K</math> 위의 일반 선형 군 <math>GL(n,K)</math>에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명했다.

[[데니스 게이츠고리]]를 포함한 수학자 팀이 2024년 5월 6일에 범주적 비분기 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명 했다고 주장 했다.<ref name=":1">{{웹 인용|url=https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/|제목=Proof of the geometric Langlands conjecture|웹사이트=people.mpim-bonn.mpg.de|확인날짜=2024-07-09}}</ref><ref>{{웹 인용|url=https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/|제목=Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture|성=Klarreich|이름=Erica|날짜=2024-07-19|웹사이트=Quanta Magazine|언어=en|확인날짜=2024-07-20}}</ref> 주장된 증명은 5개 논문에 걸쳐 1,000페이지가 넘는 분량에 포함되어 있으며 "너무 복잡해서 거의 누구도 설명할 수 없다"고 불린다. 결과의 중요성을 다른 수학자에게 전달하는 것조차 드린펠트에 따르면 "매우 어렵고 거의 불가능하다"고 설명했다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.newscientist.com/article/2431964-incredible-maths-proof-is-so-complex-that-almost-no-one-can-explain-it/|제목=Incredible maths proof is so complex that almost no one can explain it|성=Wilkins|이름=Alex|날짜=May 20, 2024|웹사이트=New Scientist|언어=en-US|확인날짜=2024-07-09}}</ref>

== 응용 ==
2007년 논문에서 안톤 카푸스틴과 [[에드워드 위튼]]은 기하학적 랭글랜즈 대응과 특정 [[양자장론]]의 속성인 [[S-이중성]] 사이의 연관성을 설명했다.<ref>Kapustin and Witten 2007</ref>

2018년에 아벨 상을 받을 때 랭글랜즈는 원래 랭글랜즈 대응과 유사한 도구를 사용하여 기하학적 프로그램을 재구성하는 논문을 전달했다.<ref>{{웹 인용|url=https://thewalrus.ca/the-greatest-mathematician-youve-never-heard-of/|제목=The Greatest Mathematician You've Never Heard Of|날짜=2018-11-15|웹사이트=The Walrus|언어=en-US|확인날짜=2020-02-17}}</ref><ref>{{웹 인용|url=https://publications.ias.edu/sites/default/files/iztvestiya_3.pdf|제목=Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1|성=Langlands|이름=Robert|날짜=2018|웹사이트=Institute of Advanced Studies|보존url=|보존날짜=|확인날짜=}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고문헌 ==

* {{서적 인용|제목=Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II|url=https://archive.org/details/frontiersinnumbe0000unse|성=Frenkel|이름=Edward|저자링크=Edward Frenkel|날짜=2007|출판사=Springer|쪽=[https://archive.org/details/frontiersinnumbe0000unse/page/n418 387]–533|장=Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory|arxiv=hep-th/0512172|bibcode=2005hep.th...12172F|doi=10.1007/978-3-540-30308-4_11|isbn=978-3-540-30307-7}}
* {{저널 인용|제목=Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program|저널=Communications in Number Theory and Physics|성=Kapustin|이름=Anton|성2=Witten|이름2=Edward|날짜=2007|권=1|호=1|쪽=1–236|arxiv=hep-th/0604151|bibcode=2007CNTP....1....1K|doi=10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1}}

== 외부 링크 ==

* {{위키인용집-줄}}
* [[nlab:quantum+geometric+Langlands+correspondence|Quantum geometric Langlands correspondence]] at [[nLab]]
[[분류:표현론]]
[[분류:대수기하학]]