기하중앙값 문서 원본 보기

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[[파일:Geometric_median_example.svg|오른쪽|섬네일|320x320픽셀| 이 점들의 기하적 중앙값은 노란 점이다. 파란색은 [[질량 중심|질량 중심.]]]]

[[기하학]]에서, '''기하학적 중앙값'''이란 유클리드 공간에서 어떤 점 집합에 대해, 집합에 속하는 점까지의 거리 합을 최소화하는 점이다. 이는 1차원의 점 집합에 대한 거리의 합을 최소화하는 특성을 갖는 중앙값(median)을 일반화하고, 더 높은 차원에서 중심 경향을 제공한다. 1-중앙값, 공간 중앙값,  유클리드 최소값 점,  또는 토리첼리 점 이라고도 불린다.

평면의 세 점(즉, 아래 정의에서  m = 3 및  n = 2)의 특별한 경우는 페르마의 문제(Fermat's Problem)라고도 알려져 있다. 이는 최소한의 슈타이너 수형도를 만들 때 발생하며, Pierre de Fermat 가 문제로 제기하고 Evangelista Torricelli 가 해결하였다.  이를 만족하는 점은 이제 세 개의 점 집합으로 형성된 삼각형의 페르마 포인트로 알려져 있다.  일부 출처에서는 Alfred Weber가 1909년 논의한 가중 거리의 합을 최소화하는 문제(일반 Weber의 문제)를 Fermat-Weber 문제라고 부르지만, 다른 출처에서는 가중치가 적용되지  않은 기하 중앙값 문제에 이 이름을 사용하기도 한다.

== 정의 ==
어떤 ''m'' 개의 점 집합에 대해 <math>\mathbb{X}^m = x_1, x_2, \dots, x_m\,</math>, <math>x_i \in \mathbb{R}^n</math>일 때,

: <math>\underset{y \in \mathbb{R}^n}{\operatorname{arg\,min}} \sum_{i=1}^m \left \| x_i-y \right \|_2</math>

이 기하학적 중앙값이다.

여기서 arg min은 인수의 값을 의미한다. 즉, <math>y</math>의 합을 최대한 작게 만드는 것이다.

== 특수한 상황들 ==
* '''한 직선 위에 있지 않은 세 점의 경우''' 어떤 한 각이 120° 이상이면 기하학적 중앙값은 그 각도의 꼭짓점이다. (이러한 점이 최대 1개인 것은 자명) 반면, 모든 각도가 120°보다 작은 경우 기하 중앙값은 세 쌍의 삼각형 꼭지점에 대해 120°의 각도를 이루는 삼각형 내부의 점이다.<ref name="haldane">{{하버드 인용 본문|Haldane|1948}}</ref> 이러한 점을 삼각형의 [[페르마 점|페르마 포인트(Fermat point)]] 이라고도 한다. (세 점이 동일선상에 있는 경우 기하 중앙값은 다른 두 점 사이의 점이다.)
* '''한 평면 상의 4개의 점인 경우,''' 한 점이 나머지 세 점으로 이루어진 삼각형의 내부에 있으면 (혹은 볼록포가 삼각형이면) 내부에 존재하게 되는 점이 기하 중앙값이다. 볼록포가 사각형이라면, 기하학적 중앙값은 변이 아닌 두 대각선의 교점이다.

== 계산 ==
기하 중앙값은 이해하기 쉬운 개념임에도 불구하고 이를 계산하는 것은 쉬운 일이 아니다. ([[:en:Geometric_median|영문 위키피디아 참고]])

== 기하 중앙값의 특성 ==
주어진 모든 점 ''x'' <sub>''i''</sub>  와 ''y''가 서로 다른 경우, ''y''는 다음 상황에서 기하 중앙값이다.

: <math>0 = \sum_{i=1}^m \frac {x_i - y} {\left \| x_i - y \right \|}.</math>

식을 변형하면 다음과 같다.

: <math>\left. y = \left( \sum_{i=1}^m \frac{x_i}{\| x_i - y \|} \right) \right/ \left( \sum_{i=1}^m \frac{1}{\| x_i - y \|} \right),</math>

일반적으로 ''y'' 는 다음과 같은 벡터 ''u'' <sub>''i''</sub> 가 있는 경우에 기하 중앙값이다.

: <math>0 = \sum_{i=1}^m u_i </math>

''x'' <sub>''i''</sub> ≠ ''y'' 이면,

: <math>u_i = \frac {x_i - y} {\left \| x_i - y \right \|}</math>

''x'' <sub>''i''</sub> = ''y'' 의 경우,

: <math>\| u_i \| \leq 1 .</math>

이는 다음 식과 동치이다.

: <math>\sum _{1\le i\le m, x_i\ne y}
\frac {x_i - y} {\left \| x_i - y \right \|} \le \left|\{
\,i\mid 1\le i\le m, x_i= y\,\}\right|.</math>

== 일반화 ==
기하 중앙값은 리만 다양체에서 프레셰 평균의 정의에 사용되는 아이디어로 유클리드 공간에서 [[리만 다양체]] (심지어 [[거리 공간|미터법 공간]] 까지도!)로 일반화될 수 있다.

== 같이 볼 문헌 ==
* 메도이드
* [[중앙값 절대 편차|기하 중앙값 절대 편차]]

== 같이 보기 ==
* [[중앙값 절대 편차]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:기술통계학]]
[[분류:기하 알고리즘]]
[[분류:수학적 최적화]]
[[분류:다변량 통계]]
[[분류:평균]]