기저 (선형대수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서, 어떤 [[벡터 공간]]의 '''기저'''(基底, {{llang|en|basis}})는 그 벡터 공간을 [[선형생성]]하는 [[선형독립]]인 벡터들이다. 달리 말해, 벡터 공간의 임의의 벡터에게 [[선형결합]]으로서 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 유한 '''기저'''는 다음 두 조건을 만족하는, <math>V</math>의 유한부분집합 <math>B=\{b_1,\ldots,b_n\}\subseteq V</math>이다.
* ([[선형독립]]) 임의의 <math>c_1,\ldots,c_n\in K</math>에 대하여, 만약 <math>c_1b_1+\cdots+c_nb_n=0</math>이면, <math>c_1=\cdots=c_n=0</math>이다.
* ([[선형생성]]) 임의의 벡터 <math>v\in V</math>는, 어떤 <math>c_1,\ldots,c_n\in K</math>를 써서 <math>v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n</math>와 같이 표현된다.
이때 간단히 <math>b_1,\ldots,b_n</math>을 <math>V</math>의 기저라고도 한다.

보다 일반적으로, '''기저'''는 다음 두 조건을 만족하는 <math>V</math>의 부분집합 <math>B\subseteq V</math>이다.
* (선형독립) 임의의 <math>c_1,\ldots,c_n\in K</math> 및 <math>b_1,\ldots,b_n\in B</math>에 대하여, 만약 <math>c_1b_1+\cdots+c_nb_n=0</math>이면, <math>c_1=\cdots=c_n=0</math>이다.
* (선형생성) 임의의 벡터 <math>v\in V</math>는, 어떤 <math>c_1,\ldots,c_n\in K</math> 및 <math>b_1,\ldots,b_n\in B</math>를 써서 <math>v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n</math>와 같이 표현된다.
[[샤우데르 기저]]와 구별하기 위해, '''하멜 기저'''({{llang|en|Hamel basis}})라는 용어를 사용하기도 한다.

== 성질 ==
모든 벡터는 기저의 [[선형결합]]으로 유일하게 표현되며, 서로 다른 벡터는 서로 다른 표현을 갖는다. 따라서 기저는 벡터를 식별하는 좌표를 부여한다.

벡터 공간의 [[차원 (벡터 공간)|차원]]은 기저 [[집합의 크기|집합]]의 원소의 개수이다.

== 기저의 종류 ==
[[유클리드 공간]] <math>\R^2</math>의 벡터 <math>e_1=(1,0)</math>, <math>e_2=(0,1)</math>은 <math>\R^2</math>의 기저이다. 보다 일반적으로, <math>n</math>차 [[단위행렬]]의 [[열벡터]] <math>e_1,\ldots,e_n</math>은 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 기저이며, 이를 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 '''표준기저'''(標準基底, {{llang|en|standard basis}})라고 한다.

벡터 공간의 기저는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, <math>b_1=(1,0)</math>, <math>b_2=(1,1)</math> 역시 <math>\R^2</math>의 기저이다.

[[실수]] [[다항식환]] <math>\R[x]</math>는 무한 기저 <math>\{1,x,x^2,\ldots\}</math>을 갖는다.

=== 정규직교기저 ===
<math>(V,\|\cdot\|)</math>가 [[순서체]] <math>K</math> 위의 [[노름 공간]]이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>의 기저 <math>B</math>를 '''정규기저'''({{llang|en|normal basis}})라고 한다.
* 모든 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>\|b\|=1</math>
<math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>가 [[순서체]] <math>K</math> 위의 [[내적공간]]이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>의 기저 <math>B</math>를 '''직교기저'''({{llang|en|orthogonal basis}})라고 한다.
* 모든 <math>b,b'\in B</math>에 대하여, 만약 <math>b\ne b'</math>이라면 <math>\langle b,b'\rangle=0</math>
정규기저이자 직교기저인, [[내적공간]]의 기저를 '''정규직교기저'''({{llang|en|orthonormal basis}})라고 한다.

이를테면, <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 표준기저는 정규직교기저이다.

== 좌표 ==
[[유클리드 공간]]에서 점과 그 좌표가 일대일 대응하는 것과 비슷하게, 일반 벡터 공간에서 주어진 기저에 따라 '''좌표'''(座標, {{llang|en|coordinate}})를 구성할 수 있다. 다만, 유클리드 공간의 표준기저가 자연스런 순서를 갖춘 것처럼, 일반 벡터 공간에서도 순서를 추가한 기저 즉 '''순서기저'''(順序基底, {{llang|en|ordered basis}})가 필요하다.

구체적으로, 벡터 공간 <math>V</math>의 '''순서기저'''는 [[전순서]]를 갖춘, <math>V</math>의 기저이다. 유한차원 벡터 공간의 경우, 기저에 [[자연수]] 첨수를 주는 것으로 족하다. 유한차원 벡터 공간 <math>V</math> 및 그 순서기저 <math>B=\{b_1,\ldots,b_n\}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 <math>v\in V</math>의 기저 <math>B</math>에 대한 '''좌표'''는 <math>v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n</math>을 만족하는 스칼라의 [[튜플]]
:<math>(v)_B=(c_1,\ldots,c_n)</math>
이다.

이에 따라, 벡터 공간의 순서기저가 주어졌을 때, 벡터는 그 좌표와 일대일 대응한다.

== 기저의 변환 ==
벡터 공간 <math>V</math>의 기저 <math>\mathfrak{B}=\{v_1,\ldots,v_n\}, \mathfrak{B'}=\{v'_1,\ldots,v'_n\}</math>가 주어질 때, 기저 변환을 다음과 같이 표시할 수 있다. 여기서 <math>[v]_{\mathfrak{B}}, [v]_{\mathfrak{B'}}</math>는 벡터 v를 각각 <math>\mathfrak{B}, \mathfrak{B'}</math> 기저로 표시한 좌표이고, <math>[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{B'}}</math>는 기저 <math>\mathfrak{B}</math>에서 <math>\mathfrak{B'}</math>로 변환하는 행렬이다.
:<math>[v]_{\mathfrak{B'}} = [I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{B'}}[v]_{\mathfrak{B}}</math>
기존 기저 <math>\mathfrak{B}</math>의 원소를 새로운 기저 <math>\mathfrak{B'}</math>의 선형 결합으로 표시할 수 있다.
:<math>v_{j} = \sum_{k=1}^{n} a_{k,j}v'_{k} \qquad \text{for } j = 1, \cdots , n</math>
이 때, <math>[v_{j}]_{\mathfrak{B'}} = \begin{bmatrix}a_{1,j} \\ \vdots \\ a_{n,j} \end{bmatrix}</math>의 꼴이 된다.

만약 <math>\mathfrak{E}</math>가 <math>\mathbb{R}^n</math>의 표준기저이고 <math>\mathfrak{B}</math>가 다른 기저라고 한다면, 기저 <math>\mathfrak{B}</math>에서 <math>\mathfrak{E}</math>로 변환하는 행렬 <math>[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{E}}</math>의 열 성분은 순서기저 <math>\mathfrak{B}</math>의 열벡터 성분이다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/1012749835|제목=Linear algebra|성=Meckes|이름=Elizabeth S.|성2=Meckes|이름2=Mark W.|날짜=2018|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge, United Kingdom|쪽=199-201|isbn=978-1-107-17790-1}}</ref> 이 점을 이용하여 <math>\mathfrak{B}</math>에서 <math>\mathfrak{B'}</math>로의 기저 변환 행렬을 간편하게 구할 수 있다.
:<math>[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{B'}}=[I]_{\mathfrak{E}, \mathfrak{B'}}[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{E}}=([I]_{\mathfrak{B'}, \mathfrak{E}})^{-1}[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{E}}</math>

== 주석과 참고 자료 ==
<references />
* {{eom|title=Basis}}
* {{매스월드|id=VectorSpaceBasis|title=Vector space basis}}

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:매트로이드 이론]]
[[분류:선택 공리]]