기울기 (벡터) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|물매|무기|무릿매}}{{미적분학}}
[[파일:Gradient2.svg|섬네일|300px|위의 두 그림에서는 회색의 밝기가 스칼라계의 크기를 뜻한다. 짙은 색일수록 크기가 큰데, 스칼라계의 기울기는 파란색 화살표로 나타냈다.]]

'''기울기'''({{lang|en|gradient|그레이디언트}}) 또는 경도란 [[벡터 미적분학]]에서 [[스칼라장]]의 최대의 증가율을 나타내는 [[벡터장]]을 뜻한다.

기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다.

== 기울기의 의미 ==
어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다.

이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다.

기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방향의 단위 벡터의 내적을 취하면 된다.

기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적분을 구하면 결과값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서만 변화함을 뜻한다.

== 기울기의 수학적 정의 ==
스칼라 함수 <math>f(x)</math>의 기울기는 <math>\boldsymbol{\nabla} f</math>로 표현한다. <math>\nabla</math> 기호는 벡터 미분 연산자로 [[나블라]](nabla) 혹은 델(del)연산자라고 부른다.

기울기는 <math>f</math>의 각 성분의 [[편미분]]으로 구성된 열벡터로 정의하며 다음과 같이 표시한다.

: <math> \boldsymbol{\nabla} f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right) </math>



: <math> \boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) </math>

예를 들어 함수
: <math>f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)</math>의 기울기는

:<math>\boldsymbol{\nabla} f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},
{\frac{\partial f}{\partial y}},
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2},
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}</math>이다.

== 성질 ==
* 그래디언트는 [[등위선]]과 직교한다.
:<math>\boldsymbol{\nabla} f \bot L_{c} (f). \quad L_{c} (f)= \left\{ \mathbf{r}(t)|f(\mathbf{r}(t))=c \right\} </math>
{{글 숨김|증명}}
등위집합은 다음과 같이 정의된다. 함수 <math>f</math>의 값을 일정하게 하는 곡선상을 매개변수 <math>t</math>를 이용한 벡터 <math>\mathbf{r}</math>로 나타낸다.
:<math>L_{c} (f)= \left\{ \mathbf{r}(t)=(x_{1},x_{2},...,x_{n})|f(\mathbf{r}(t))=c \right\}</math>
등위집합의 접선벡터는 <math>\mathbf{r}'(t)= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}</math>이 된다.
한편 <math>g(t)=f(\mathbf{r}(t))=c</math>라 할 때
:<math>g'(t)= \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{dx_{1}}{dt}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \frac{dx_{2}}{dt}+...+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} \frac{dx_{n}}{dt}=\boldsymbol{\nabla} f \cdot \mathbf{r}'(t)=0</math>
따라서 그래디언트와 등위선은 직교한다.
{{글 숨김 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[회전 (벡터)]]
* [[발산 (벡터)]]

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:미분학]]
[[분류:미분 연산자]]
[[분류:미분의 일반화]]