기약 다항식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''기약 다항식'''(旣約多項式, {{llang|en|irreducible polynomial}})은 더 낮은 [[차수]]의 다항식의 [[곱]]으로 나타낼 수 없는 [[다항식]]이다.

== 정의 ==
'''기약 다항식'''은 [[다항식환]]의 [[기약원]]을 뜻한다. 구체적으로, [[정역]] <math>R</math>를 계수로 하는 다항식 <math>p(x)\in R[x]</math>가 다음 세 조건을 모두 만족시키면, '''기약 다항식'''이라고 한다.
* <math>p\ne0</math>
* <math>p</math>는 [[가역원]]이 아니다.
* 임의의 <math>q,r\in R[x]</math>에 대하여, 만약 <math>p(x)=q(x)r(x)</math>라면, <math>q</math>가 [[가역원]]이거나 <math>r</math>가 가역원이다.

<math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우, 0이 아닌 상수 다항식은 [[가역원]]이므로, 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* <math>p</math>는 기약 다항식이다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** <math>\deg p\ge1</math>
** <math>p</math>는 더 낮은 차수의 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 즉, 만약 <math>q,r\in R[x]</math>이며 <math>p(x)=q(x)r(x)</math>라면, <math>\deg q=\deg p</math>이거나 <math>\deg r=\deg p</math>이다.

=== 원시 다항식 ===
[[유일 인수 분해 정역]] <math>R</math>를 계수로 하는 다항식 <math>p(x)\in R[x]</math>의 '''내용'''(內容, {{llang|en|content}})은 다음과 같다.
:<math>\operatorname c(p(x))=\gcd\{p_0,\dots,p_{\deg p}\}</math>
즉, 내용은 다항식의 계수들의 [[최대 공약수]]이다.

'''원시 다항식'''(原始多項式, {{llang|en|primitive polynomial}})은 내용이 [[가역원]]인 다항식이다. 즉, 계수들이 자명하지 않은 [[공약수]]를 가지지 않는 다항식이다.

== 성질 ==
=== 복소수 계수 기약 다항식 ===
[[대수학의 기본 정리]]에 따라, [[복소수체]]에 대한 [[다항식환]]에서의 기약 다항식은 1차 다항식뿐이다.

=== 실수 계수 기약 다항식 ===
[[실수체]] 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 [[판별식]]이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.
{{증명}}
;1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
;판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
;판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성: 판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.
;3차 이상의 다항식의 비기약성: <math>p(x)\in\mathbb R[x]</math>가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, [[대수학의 기본 정리]]에 따라 복소수 영점 <math>z\in\mathbb C</math>가 존재한다. 만약 <math>z\in\mathbb R</math>라면, <math>\mathbb R[x]\ni x-z\mid p(x)</math>이므로 <math>p(x)</math>는 기약 다항식이 아니다. 만약 <math>z\not\in\mathbb R</math>이라면, 그 [[켤레 복소수]] <math>\bar z</math> 역시 영점인데, 이는 <math>p(\bar z)=\bar p(\bar z)=\overline{p(z)}=\bar 0=0</math>이기 때문이다. 따라서, <math>\mathbb R[x]\ni(x-z)(x-\bar z)\mid p(x)</math>이므로, <math>p(x)</math>는 기약 다항식이 아니다.
{{증명 끝}}

=== 정수 계수 기약 다항식 ===
정수 계수의 경우는 복소수나 실수 계수의 경우보다 복잡하다. 정수 계수 다항식의 경우, <math>\mathbb Z[x]</math>에서의 기약성과 <math>\mathbb Q[x]</math>에서의 기약성이 서로 다른 개념임에 주의하자. 또한, 복소수·실수 계수와 달리 기약성을 판단하는 간단한 [[필요충분조건]]은 존재하지 않는다. [[정수환]]은 [[유일 인수 분해 정역]]의 특수한 경우이며, 정수환에 대한 결과들은 유일 인수 분해 정역에서도 평행하게 존재한다. 

두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 즉, [[유일 인수 분해 정역]] <math>R</math>를 계수로 하는 다항식 <math>p(x),q(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname c(p(x)q(x))=\operatorname c(p(x))\operatorname c(q(x))</math>
이를 '''가우스 보조정리'''(Gauß補助定理, {{llang|en|Gauss's lemma}})라고 한다.
{{증명}}
두 원시다항식 <math>f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i,</math> <math>g(x) = \sum_{j=0}^m b_jx^j</math>의 곱
:<math>f(x)g(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_kx^k,\quad c_k = \sum_{i+j=k} a_ib_j</math>
이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 <math>c_k</math>의 [[공약수]]로 존재한다.
:<math>s = \min\{i : p \nmid a_i\},\quad t = \min\{j : p \nmid b_j\}</math>
라고 하면, <math>p \nmid a_s,</math> <math>p \nmid b_t</math>이고, 임의의 <math>i < s,</math> <math>j < t</math>에 대해 각각 <math>p \mid a_i,</math> <math>p \mid b_j</math>이다. <math>c_{s+t}</math>의 전개에서, <math>a_sb_t</math> 외의 남은 항 <math>a_ib_j</math>는 <math>i < s</math> 또는 <math>j < t</math>를 만족하므로(그렇지 않으면 <math>i + j > s + t</math>이어서 모순이다), 모두 <math>p \mid a_ib_j</math>이다. <math>p \mid c_{s+t}</math>도 성립함에 따라 <math>p \mid a_sb_t</math>이다. 따라서 <math>p \mid a_s</math> 또는 <math>p \mid b_t</math>이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, <math>f(x)g(x)</math>는 원시다항식이다.
{{증명 끝}}

[[유일 인수 분해 정역]] <math>R</math>를 계수로 하는 다항식 <math>p(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math>의 [[기약원]]이다. (<math>\operatorname{Frac}R</math>는 [[분수체]])
* <math>p(x)</math>는 더 낮은 차수의 두 <math>R</math> 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다.

또한, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>R[x]</math>의 [[기약원]]이다.
* 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다.
** <math>p</math>는 <math>R</math>의 [[기약원]]이다.
** <math>p(x)</math>는 원시 다항식이며, <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math>의 [[기약원]]이다.

[[유일 인수 분해 정역]]을 계수로 하는 다항식이 기약 다항식일 [[충분조건]]을 제시하는 정리들로는 다음이 있다.
* [[유리근 정리]]
* [[아이젠슈타인 판정법]]
* [[축소 판정법]]

== 예 ==
체의 경우, 모든 1차 다항식은 기약 다항식이다. 체 <math>K</math> 계수 2차 및 3차 다항식이 기약 다항식일 [[필요충분조건]]은 <math>K</math> 속에서 근을 갖지 않는 것이다. 유리수 계수 4차 다항식
:<math>x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)</math>
은 유리근을 갖지 않지만, 기약 다항식이 아니다.

체 계수 다항식환에서의 기약성과 그 [[확대체]]의 다항식환에서의 기약성은 일반적으로 다르다. 큰 다항식환의 기약 다항식은 (작은 다항식환에 속하는 경우) 작은 다항식환에서도 기약 다항식이지만, 작은 다항식환의 기약 다항식은 큰 다항식환에서 추가적으로 [[인수 분해]]될 수 있다.
* 유리수 계수 다항식 <math>x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)</math>은 <math>\mathbb Q[x]</math>의 기약 다항식이지만, <math>\mathbb R[x]</math>에서 기약 다항식이 아니다.
* 실수 계수 다항식 <math>x^2+1=(x-i)(x+i)</math>는 <math>\mathbb R[x]</math>의 기약 다항식이지만, <math>\mathbb C[x]</math>에서 기약 다항식이 아니다.

정수 계수 다항식
:<math>2(x+1)\in\mathbb Z[x]</math>
은 유리수 계수 기약 다항식이지만, 2와 <math>x+1</math>이 <math>\mathbb Z[x]</math>의 [[기약원]]이므로, 이 다항식은 <math>\mathbb Z[x]</math>의 [[기약원]]이 아니다.

2는 <math>\mathbb Z[x]</math>의 [[기약원]]이지만, <math>\mathbb Q[x]</math>에서는 [[가역원]]이므로 <math>\mathbb Q[x]</math>의 기약 다항식이 아니다.

=== ''x''<sup>''n''</sup> - ''a'' ===
(임의의 [[환의 표수|표수]]의) [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및 양의 정수 <math>n</math> 및 <math>a\in K</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556|id={{구글 도서 식별자|Fge-BwqhqIYC}}}}</ref>{{rp|297, Theorem 9.1}}
* <math>x^n-a</math>는 <math>K[x]</math>의 기약 다항식이다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** 임의의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p\mid n</math>에 대하여, <math>a=b^p</math>인 <math>b\in K</math>는 존재하지 않는다.
** 만약 <math>4\mid n</math>이라면, <math>a=-4b^4</math>인 <math>b\in K</math>는 존재하지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[유리근 정리]]
* [[아이젠슈타인 판정법]]
* [[콘의 기약성 기준]]

== 참고 문헌 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=가우스의 보조정리(Gauss's lemma)}}
** {{수학노트|title=아이젠슈타인 기약다항식 판정법}}
* {{eom|title=Irreducible polynomial}}
** {{eom|title=Primitive polynomial}}
* {{매스월드|id=IrreduciblePolynomial|title=Irreducible polynomial}}
** {{매스월드|id=PrimitivePolynomial|title=Primitive polynomial}}
** {{매스월드|id=RationalZeroTheorem|title=Rational zero theorem}}
** {{매스월드|id=EisensteinsIrreducibilityCriterion|title=Eisenstein's irreducibility criterion}}
* {{nlab|id=irreducible polynomial|title=Irreducible polynomial}}
* {{플래닛매스|urlname=IrreduciblePolynomial|title=Irreducible polynomial}}
** {{플래닛매스|urlname=irreduciblepolynomialsoverfinitefield|title=Irreducible polynomials over finite field}}
** {{플래닛매스|urlname=IrreduciblePolynomialsObtainedFromBiquadraticFields|title=Irreducible polynomials obtained from biquadratic fields}}
** {{플래닛매스|urlname=contentofpolynomial|title=Content of polynomial}}
** {{플래닛매스|urlname=rationalroottheorem|title=Rational root theorem}}
** {{플래닛매스|urlname=FactorizationOfPrimitivePolynomial|title=Factorization of primitive polynomial}}
** {{플래닛매스|urlname=ProofOfRationalRootTheorem|title=Proof of rational root theorem}}
** {{플래닛매스|urlname=gausslemma|title=Gauss' lemma}}
** {{플래닛매스|urlname=GausssLemmaII|title=Gauss’s lemma II}}
** {{플래닛매스|urlname=eisensteincriterion|title=Eisenstein criterion}}
** {{플래닛매스|urlname=proofofeisensteincriterion|title=Proof of Eisenstein criterion}}
** {{플래닛매스|urlname=ExampleOfUsingEisensteinCriterion|title=Example of using Eisenstein criterion}}

[[분류:대수학]]
[[분류:다항식]]