기약원 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''기약원'''(旣約元, {{llang|en|irreducible element}})은 [[정역]]의 원소 가운데, 0 또는 [[가역원]]이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없는 것이다. [[소원 (환론)|소원]] 및 [[소 아이디얼]]과 함께, [[소수 (수론)|소수]]의 개념의 일반화의 하나이다.

== 정의 ==
[[정역]] <math>R</math>의 원소 <math>i\in R</math>가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다면, '''기약원'''이라고 한다.<ref name="DF">{{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en|oclc=248917264}}</ref>{{rp|284}}
* <math>i</math>는 0이 아니며, [[가역원]]도 아니다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>i=rs</math>라면, <math>r</math> 또는 <math>s</math> 가운데 적어도 하나는 [[가역원]]이다.

== 성질 ==
정역의 원소들은 다음과 같이 네 종류로 분류된다.
* 0
* [[가역원]]
* 기약원
* 두 개 이상의 0이 아닌 비가역원들의 곱 (이를 편의상 ‘합성원’이라고 하자)
이 종류들은 모두 서로소이다 (모든 원소는 정확하게 한 종류에 속한다).

정역에서 이들 사이의 곱셈은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! × || 0 || 가역원 || 기약원 || 합성원
|-
! 0
| 0 || 0 || 0 || 0
|-
! 가역원
| 0 || 가역원 || 기약원 || 합성원
|-
! 기약원
| 0 || 기약원 || 합성원 || 합성원
|-
! 합성원
| 0 || 합성원 || 합성원 || 합성원
|-
|}

=== 함의 관계 ===
정역에서, 모든 [[소원 (환론)|소원]]은 기약원이지만,<ref name="DF"/>{{rp|284, Proposition 8.11}} 그 역은 성립하지 않는다. 다만, [[유일 인수 분해 정역]]에서는 기약원의 개념과 [[소원 (환론)|소원]]의 개념이 일치한다.

== 예 ==
정수환 <math>\mathbb Z</math>의 기약원은 ±1×[[소수 (수론)|소수]]의 꼴인 [[정수]]이다. 이 경우, 모든 정수는 다음과 같이 네 종류로 분류된다.
* 0
* 가역원: ±1
* 기약원: ±[[소수 (수론)|소수]]
* 2개 이상의 기약원의 곱: ±[[합성수]]

[[체 (수학)|체]]에서는 모든 원소가 0 또는 [[가역원]]이므로, 체는 기약원을 갖지 않는다.

다항식환 <math>K[x]</math>의 기약원을 '''[[기약 다항식]]'''이라고 한다.

=== 소원이 아닌 기약원 ===
[[유수 (수론)|유수]]가 1이 아닌 [[대수적 정수환]] <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math>에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 [[소원 (환론)|소원]]이 아니다.<ref name="DF"/>{{rp|284}}
:<math>3\mid 9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt5)</math>
:<math>3\nmid2+\sqrt{-5}</math>
:<math>3\nmid2-\sqrt{-5}</math>

== 같이 보기 ==
* [[기약 다항식]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IrreducibleElement|title=Irreducible element}}

[[분류:가환대수학]]