기술적 집합론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''기술적 집합론'''(記述的 集合論, descriptive set theory)은 [[폴란드 공간]] 속의 적절한 부분집합인 [[보렐 집합]]을 정의하는 기술(description)의 복잡도를 다루는 분야이다. 기술적 집합론은 [[집합론]]의 한 분야인 동시에, [[함수해석학]], [[에르고딕 이론]], [[위상수학]], [[추상대수학]] 등 다른 분야들에도 적용된다.

== 폴란드 공간 ==
{{본문|폴란드 공간}}
기술적 집합론은 [[폴란드 공간]](Polish space)들과 그것들의 [[보렐 집합]], 그리고 그 보렐 집합들의 위계인 [[보렐 위계]](Borel hierarchy)에 관한 개념으로부터 시작한다. 폴란드 공간은 [[거리화 가능 공간|완비적으로 거리화 가능]]한 [[제2 가산 공간|제2 가산]] [[위상 공간 (수학)|위상공간]] 공간이다. 즉, 거리화가 사라진 완비된 [[분해 가능 공간]]이다. [[실수 직선]] <math>\mathbb{R}</math>, 베르 공간(Biare space) <math>\mathcal{N}</math>, 칸토어 공간(Cantor space) <math>\mathcal{C}</math> 등이 그 예시가 된다. 여기서 베르 공간은 <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math>이고 칸토어 공간은 <math>\{0,1\}^\mathbb{N}</math>이다.

== 보렐 집합 ==
{{본문|보렐 집합}}

위상공간 X의 [[보렐 집합]](Borel sets)들의 집합은 X의 열린 집합들을 포함하는 최소의 [[시그마 대수]]이다. 따라서 보렐 집합은 다음과 같다.
*X의 모든 열린 부분집합은 보렐 집합이다.
*A가 보렐 집합이면 X - A도 보렐 집합이다. (여집합에 대해 닫힘)
*각 자연수 n에 대해 A<sub>n</sub>이 보렐 집합이면 그 합집합 <math>\bigcup A_n</math>도 보렐 집합이다. (가산 합집합에 대해 닫힘)

또한 임의의 비가산 폴란드 공간 X, Y에 대하여 둘 사이에 보렐 동형(Borel isomorphism)이 존재한다. 즉 X와 Y 사이의 일대일대응이 존재하여 특히 보렐 집합의 상과 원상은 오직 보렐 집합뿐이라는 성질이 성립한다. 따라서 모든 폴란드 공간은 보렐 집합의 단계에서는 모두 동형으로 볼 수 있으므로 베르 공간과 칸토어 공간에 논의를 한정하는 것이 정당화된다.

== 보렐 위계 ==
보렐 위계는 특정 보렐 집합을 얻기 위해 열린집합에 여집합 연산이나 합집합 연산을 몇번이나 반복해야 하는지에 따라 보렐 집합들을 분류한다. 이들은 가산 순서수 <math>\alpha</math>에 대해 <math>\mathbf{\Sigma}^0_\alpha</math>, <math>\mathbf{\Pi}^0_\alpha</math>, <math>\mathbf{\Delta}^0_\alpha</math>와 같이 표기되며, 다음과 같이 정의된다.
*모든 열린 집합은 <math>\mathbf{\Sigma}^0_1</math>로 분류된다.
*여집합이 <math>\mathbf{\Sigma}^0_\alpha</math>인 집합은 <math>\mathbf{\Pi}^0_\alpha</math>로 분류된다.
*어떤 집합 A에 대해 집합열 (A<sub>i</sub>)가 존재하여 <math>A = \bigcup A_i</math>이되, 이때 각 A<sub>i</sub>에 대해 순서수 <math>\lambda(i)</math>가 존재하여 A<sub>i</sub>가 <math>\mathbf{\Pi}^0_{\lambda(i)}</math> (<math>\lambda(i) < \alpha</math>)에 속하면 A는 <math>\mathbf{\Sigma}^0_\alpha</math>로 분류된다.
*<math>\mathbf{\Sigma}^0_\alpha</math>와 <math>\mathbf{\Pi}^0_\alpha</math> 모두에 속하는 집합은 <math>\mathbf{\Delta}^0_\alpha</math>로 분류된다.

따라서 다음과 같은 도표가 성립한다. (화살표는 포함관계)

<center>
<math>
\begin{matrix}
& & \mathbf{\Sigma}^0_1 & & & & \mathbf{\Sigma}^0_2 & & \cdots \\
& \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\
\mathbf{\Delta}^0_1 & & & & \mathbf{\Delta}^0_2 & & & & \cdots \\
& \searrow & & \nearrow & & \searrow \\
& & \mathbf{\Pi}^0_1 & & & & \mathbf{\Pi}^0_2 & & \cdots 
\end{matrix}\begin{matrix}
& &  \mathbf{\Sigma}^0_\alpha & & & \cdots \\
& \nearrow & & \searrow \\
\quad \mathbf{\Delta}^0_\alpha &  & & & \mathbf{\Delta}^0_{\alpha + 1} & \cdots \\
& \searrow & & \nearrow \\
& & \mathbf{\Pi}^0_\alpha & & & \cdots 
\end{matrix}
</math>
</center>

또한 폴란드 공간의 보렐집합의 연속적 상을 [[해석적 집합]]이라 하며 이로부터 위와 같은 방식으로 [[사영 위계]]를 정의해나갈 수 있다. 이를 <math>\boldsymbol\Sigma^1_\alpha</math>, <math>\boldsymbol\Pi^1_\alpha</math>, <math>\boldsymbol\Delta^1_\alpha</math>와 같이 표기한다.

보렐 위계는 폴란드 공간 내의 보렐 집합을 정의하는 일종의 복잡도를 재는 척도가 되는데, 이는 자연수 집합의 부분집합을 정의하는 식의 복잡도를 재는 [[산술 위계]]와도 대응되는 개념이다. 이렇듯 [[계산 가능성 이론]]과 [[구성주의 수학]] 연구에서도 중요한 도구가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[폴란드 공간]]
* [[보렐 집합]]
* [[거리화 가능 공간]]

{{전거 통제}}

[[분류:기술적 집합론]]