기븐스 회전 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[월리스 기븐스|기븐스]] 회전(Givens rotation)은 <math>G ( i , j , \theta ) \cdot x</math>는 <math>\theta </math>[[라디안]]의<math> ( i , j )</math> 평면에서 벡터<math> x </math>의 반 시계 방향 회전을 나타내므로 기븐스 [[회전 (벡터)|회전]]이라 명명된다.

[[수치 해석]]및[[선형 대수학]]에서 기븐스 회전의 주요 용도는 [[벡터]] 또는 [[행렬]]에 <math>0</math>을 도입하는 것이다. 이 효과는 예를 들어 행렬의 [[QR 분해]]를 계산하는 데 사용될 수 있다. [[하우스홀더 변환]]에 비해 장점은 쉽게 병렬처리할 수 있다는 것이다. 또는 비교적 매우 적은 수의 행렬 연산으로 작동된다는 점이다.
== 성질 ==
:<math>
\begin{pmatrix}
c & s  \\
-s & c  \\
\end{pmatrix}^{T}
\begin{pmatrix}
a & b  \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r & 0  \\
\end{pmatrix}
</math>
:<math>r= {\sqrt{a^2+b^2}},</math>
:<math>c = {{a}\over{\sqrt{a^2+b^2}}} \;\;,\;\;  s= {{b}\over{\sqrt{a^2+b^2}}}</math>

== 3차원의 기븐스 회전 ==
기븐스 회전(Givens rotation)은 [[상삼각행렬]]을 위한 특정한 위치의 값을 <math>0</math>으로하는 행렬을 유도할 수 있다.
:<math>
R_X(\theta) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
</math>

:<math>
R_Y(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0  \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix}
\to
\begin{align} \\
R_Y(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & -\sin \theta \\
0 & 1 & 0  \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>

:<math>\begin{align} \\
R_Z(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
== 예 ==
:<math> A_1 =
       \begin{bmatrix}   6    &    5    &    0   \\
                         5    &    1    &    4     \\
                         0    &    4    &    3     \\
       \end{bmatrix}</math>

기븐스 회전의 두번 반복 (여기서는 <math>3</math>행<math>3</math>열의 성분이 이미<math> 0</math>이다)을 수행하여 [[QR 분해]]를 계산하기위한 [[상삼각행렬]]을 산출한다.

필요한 행렬을 만들기 위해서는 성분<math>(2, 1)</math>과 <math>(3, 2)</math>를 제로화해야한다. 먼저 성분<math>(2, 1)</math>를 <math>0</math>으로 선택하여,

회전 행렬을 적용하면,
:<math>G_{1} =
       \begin{bmatrix}   c    &    -s    &    0   \\
                         s   &    c    &    0     \\
                         0    &    0    &    1     \\
       \end{bmatrix}</math>

:<math>
\begin{align}
G_1 A_1 &{}= A_2 \\
&{} = \begin{bmatrix}   c    &    -s    &    0   \\
                         s   &    c    &    0     \\
                         0    &    0    &    1     \\
       \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix}   6    &    5    &    0   \\
                         5    &    1    &    4     \\
                         0    &    4    &    3     \\
       \end{bmatrix}
\end{align}
</math>


:<math> r = \sqrt{6^2 + 5^2} \approx 7.8102 </math>
:<math> c = 6 / r \approx 0.7682 </math>
:<math> s= -5 / r \approx -0.6402</math>



:<math>A_2 \approx \begin{bmatrix}   7.8102    &     4.4813    &    2.5607   \\
                                 0    &    -2.4327    &    3.0729   \\
                                 0    &          4    &         3   \\
       \end{bmatrix}</math>

이제 프로세스를 끝내기 위해 <math>(3, 2)</math>성분을 제로로 만든다. 이전과 같은 아이디어를 사용하여 회전 행렬을 적용한다.
:<math>G_{2} =
       \begin{bmatrix}   1    &    0    &    0   \\
                         0   &    c    &    -s     \\
                         0    &    s   &    c     \\
       \end{bmatrix}</math>


:<math>
\begin{align}
G_2 A_2 &{}= A_3 \\
&{}\approx \begin{bmatrix}   1    &    0    &    0   \\
                         0   &    c    &    -s     \\
                         0    &    s   &    c     \\
       \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix}   7.8102    &    4.4813    &    2.5607   \\
                         0   &    -2.4327    &    3.0729     \\
                         0    &    4    &    3     \\
       \end{bmatrix}
\end{align}
</math>


:<math> r \approx \sqrt{(-2.4327)^2 + 4^2} \approx 4.6817 </math>
:<math> c\approx -2.4327 / r \approx -0.5196 </math>
:<math> s \approx -4 / r \approx -0.8544</math>


:<math>A_3 \approx
       \begin{bmatrix}   7.8102    &    4.4813    &    2.5607   \\
                         0   &    4.6817    &    0.9664     \\
                         0    &    0    &    -4.1843     \\
       \end{bmatrix}  = R
</math>
이 새로운 행렬 <math>A_3</math> 은 [[QR 분해]]을 수행하는데 필요한 [[상삼각행렬]] <math>R</math>이다.

:<math>Q</math>는 이제 다음과 같은 방식으로 회전 행렬의 [[전치행렬|전치]]를 사용하여 형성된다.
:<math>Q = G_{1}^T\, G_{2}^T
</math>


:<math>Q \approx
       \begin{bmatrix}   0.7682    &   0.3327    &    0.5470   \\
                         0.6402   &     -0.3992    &    -0.6564     \\
                         0    &    0.8544    &     -0.5196     \\
       \end{bmatrix}</math>

:<math>QR = A</math>

== 같이 보기 ==
* [[QR 분해]]

== 참고 자료 ==
* [[플래닛매스]](http://planetmath.org/givensrotation)

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]
[[분류:3차원 회전]]