기븐스 행렬 문서 원본 보기

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'''기븐스 행렬'''(Givens matrix)은 [[수치선형대수학]]에서 [[기븐스 회전]]과 관련된 행렬이다. [[월리스 기븐스]]( Wallace Givens)의 이름을 따서지어졌다. 이것은 1950년대에 월리스 기븐스가 [[아르곤 국립 연구소]]와 일하면서 수치 분석가들에게 이것을 소개함으로써 알려졌다.

밴드행렬이 <math>0</math> 값을 갖는 행렬성분과 비영(非零,non-zero)값의 성분 간의 비율관계에 있어서 유효한 개념이라면,
기븐스 행렬과 [[기븐스 회전]](Givens rotation)은 임의의 행렬의 특정 위치의 성분을 <math>0</math>으로 하는 좀더 강한 행렬의 조작 방법이자, 행렬의 근본적인 성질을 규명하는 단위 개념으로 사용되는데 유효하다고 할 수 있다.<ref>http://matrix.skku.ac.kr/sglee/03-Note/QR-Decomp.htm</ref>

== 행렬 표현 ==

:<math>G(i, j, c,s) = 
       \begin{bmatrix}   1   & \cdots &    0   & \cdots &    0   & \cdots &    0   \\
                      \vdots & \ddots & \vdots &        & \vdots &        & \vdots \\
                         0   & \cdots &    c   & \cdots &    -s   & \cdots &    0   \\
                      \vdots &        & \vdots & \ddots & \vdots &        & \vdots \\
                         0   & \cdots &   s   & \cdots &    c   & \cdots &    0   \\
                      \vdots &        & \vdots &        & \vdots & \ddots & \vdots \\
                         0   & \cdots &    0   & \cdots &    0   & \cdots &    1
       \end{bmatrix}</math>

여기서 <math>c = cos \theta </math> 및<math> s = sin\theta</math> 가 <math>i </math>번째 행 및 <math>j</math> 번째 열의 교차점에서 나타날때,

[[삼각 함수 항등식]]의 [[피타고라스 정리]]에서  <math> \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 </math>이므로,
:<math> s^2 + c^2 = 1 </math>이고,
<math>G(i, j, c,s) =G(i, j,\theta)</math>이다.

따라서, 기븐스 행렬의 <math>0</math>이 아닌 요소는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>\begin{align}
 g_{n\, n} &{}= 1 \qquad  \ n = i=j , g_{n\, n} \ne g_{i\, i} \ne g_{j\, j} \ne g_{j\, i} \ne g_{i\, j} \\
 g_{i\, i} &{}= c \\
 g_{j\, j} &{}= c \\
 g_{j\, i} &{}= -s \\
 g_{i\, j} &{}= s \qquad   \     i > j
\end{align}</math>

== 같이 보기 ==
* [[야코비 행렬]]
* [[헤세 행렬]]
* [[QR 분해]]

==참고==
Cybenko, George (March–April 2001), "[https://web.archive.org/web/20160303213109/http://vlsicad.eecs.umich.edu/Quantum/papers/QC-Unitary.pdf Reducing Quantum Computations to Elementary Unitary Operations]" (PDF), Computing in Science and Engineering, 3 (2): 27–32, [[디지털 객체 식별자|DOI]]:[http://ieeexplore.ieee.org/document/908999/?reload=true 10.1109/5992.908999]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]