기본 영역 문서 원본 보기

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주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 그 위에 작용하는 군이 주어지면, 하는 한 점에 대한 [[군의 작용|군 작용]]의 상은 작용의 [[군의 작용|궤도]]를 형성한다. '''기본 영역'''은 이러한 각 궤도에서 정확히 한 지점을 포함하는 공간의 부분 집합이다. 그것은 궤도를 대표하는 추상적 집합에 대한 기하학적 구현으로 사용된다.

기본 영역을 선택하는 방법에는 여러 가지가 있다. 일반적으로 기본 영역은 경계에 일부 조건(예: 매끄러운 경계 또는 다면체의 모서리)이 있는 [[연결 공간|연결]] 부분 집합이어야 한다. 군 작용 아래에서 선택한 기본 영역의 상은 공간을 [[테셀레이션|바둑판식]]으로 배열한다. 기본 영역의 일반적인 구성 중 하나는 [[보로노이 다이어그램|보로노이 도식]]을 사용한다.

== 일반적인 정의에 대한 실마리 ==
[[파일:Lattice_torsion_points.svg|오른쪽|섬네일|375x375픽셀| 몫이 토러스인 복소 평면 및 기본 영역의 격자이다.]]
[[위상동형사상]]에 의한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에서 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]이 주어지면 이 작용의 기본 영역은 궤도들의 대표원 집합 <math>D</math>이다. 이는 일반적으로 몇 가지 정확하게 정의된 방식 중 하나로 위상적으로 충분히 좋은 집합이어야 한다. 한 가지 일반적인 조건은 <math>D</math>가 <math>X</math>에 대한 특정 (준)불변 [[측도]]에 대해 영 측도 집합과 <math>X</math>의 열린 집합의 [[대칭차]]라는 점에서 <math>D</math>가 ''거의'' 열린 집합이라는 것이다. 기본 영역은 항상 [[군의 작용|자유 정규 집합]] <math>U</math>, <math>G</math>에 의해 [[서로소 집합|서로소인]] 복사본으로 이동하는 [[열린집합|열린 집합]]을 포함하며 궤도를 나타내는 데 거의 <math>D</math>만큼 우수하다. 종종 <math>D</math>는 약간의 반복이 있는 코셋 대표의 완비 집합이 되어야 하지만 반복되는 부분은 영측도이다. 이것은 [[에르고딕 이론]]의 전형적인 상황이다. 기본 영역이 <math>X/G</math>에 대한 [[적분]]을 계산하는 데 사용되는 경우 영측도 집합은 중요하지 않다.

예를 들어, <math>X</math>가 <math>n</math>차원의 [[유클리드 공간]] <math>\R^n</math>''이고'' <math>G</math>가 평행 이동에 의해 작용하는 격자 <math>\Z^n</math>일 때, 몫 <math>X/G</math>는 <math>n</math>차원 [[원환면]]이다. 여기에서 기본 영역 <math>D</math>는 <math>[0,1)^n</math>으로 볼 수 있으며, 이것은 열린 집합 <math>(0,1)^n</math>과 영 측도 집합 또는 [[닫힌 집합|닫힌]] 단위 [[경계 (위상수학)|입방체]] <math>[0,1]^n</math>과 다르다. 궤도가 <math>D</math>에서 둘 이상의 대표원들을 갖는 점으로 구성된다.

== 예 ==
3차원 유클리드 공간 <math>\R^3</math>의 예.

* <math>n</math> 겹 회전의 경우: 궤도는 축 주위의 <math>n</math> 개 점들의 집합이거나 축의 한 점이다. 기본 영역은 섹터이다.
* 주어진 평면에서의 반사: 궤도는 평면의 각 측면에 하나씩 2개의 점 집합이거나 평면의 한 점이다. 기본 영역은 해당 평면으로 경계가 지정된 반공간이다.
* 점에서의 반사를 위해: 궤도는 2개의 점의 집합이며, 중심으로만 구성된 하나의 궤도를 제외하고 중심의 각 측면에 하나씩 있다. 기본 영역은 중심을 통과하는 임의의 평면으로 경계가 지정된 반공간이다.
* 주어진 한 직선에 대한 180° 회전의 경우: 궤도는 축에 대해 서로 반대편에 있는 2개의 점 집합이거나 축의 한 점이다. 기본 영역은 주어진 직선을 통과하는 임의의 평면으로 경계가 지정된 반 공간이다.
* 한 방향으로 이산 병진 대칭의 경우: 궤도는 병진 벡터 방향으로 1차원 격자의 병진이다. 기본 영역은 무한한 판이다.
* 두 방향의 이산 병진 대칭: 궤도는 병진 벡터를 통해 평면의 2차원 격자를 평행 이동 시킨다. 기본 영역은 [[평행사변형]] 단면을 갖는 무한한 막대이다.
* 세 방향의 이산 병진 대칭: 궤도는 격자의 평행이동이다. 기본 영역은 [[보로노이 다이어그램|보로노이 도식]]라고도 하는 [[평행육면체|직육면체]] 또는 위그너-자이츠 격자와 같은 단위 격자이다.

다른 대칭과 결합된 병진 대칭의 경우 기본 영역은 기본 셀의 일부이다. 예를 들어, [[평면의 결정군|벽지군]]의 경우 기본 영역은 기본 격자보다 1, 2, 3, 4, 6, 8 또는 12 작은 요소이다.

== 모듈러 군의 기본 영역 ==
[[파일:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|섬네일|400x400픽셀| 각 삼각형 영역은 <math>H/\Gamma</math>의 자유 정규 집합이다. 회색 영역(삼각형의 세 번째 점이 무한대에 있음)은 표준적 기본 영역이다.]]
오른쪽 도식은 [[상반평면]] <math>H</math>에서 [[모듈러 군]] <math>\Gamma</math>의 작용에 대한 기본 영역 구성의 일부를 보여준다.

이 유명한 도식은 [[모듈러 형식|모듈러 함수]]에 대한 모든 고전 연구에 나타난다. (아마도 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]에게 잘 알려져 있었을 것이다. 그는 [[이차 형식]]의 [[가우스 합성|축소 이론]]을 연구하며 기본 영역을 다루었다.) 여기서 각 삼각형 영역(파란색 선으로 둘러싸인)은 <math>H</math>에 대한 <math>\Gamma</math> 작용의 [[군의 작용|자유 정규 집합]]이다. 경계(파란색 선)는 자유 정규 집합의 일부가 아니다. <math>H/\Gamma</math>의 기본 영역을 구성하려면 이러한 점을 이중 계산하지 않도록 주의하면서 경계에 점을 할당하는 방법도 고려해야 한다. 따라서 이 예에서 자유 정규 집합은 다음과 같다:

: <math>U = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}.</math>

기본 영역은 왼쪽에 경계를 추가하고 가운데 지점을 포함하여 하단에 호의 절반을 추가하여 구성된다.

: <math>D=U\cup\left\{ z \in H: \left| z \right| \geq 1,\, \mbox{Re}(z)=\frac{-1}{2} \right\} \cup \left\{ z \in H: \left| z \right| = 1,\, \frac{-1}{2}<\mbox{Re}(z)\leq 0 \right\}.</math>

기본 영역의 일부로 포함할 경계 지점의 선택은 임의적이며 저자마다 다르다.

기본 영역을 정의하는 데 있어 가장 어려운 부분은 집합 자체를 정의 하는 것이 아니라 영역 경계에서 극점과 영점이 있는 함수를 적분할 때 기본 영역에 대한 적분을 처리하는 방법에 있다.

== 같이 보기 ==
* [[군의 작용|자유 정칙 집합]]
* 기본 다각형
* [[브릴루앙 영역]]
* 주기의 기본 쌍
* 피터슨 내적
* 뾰족한 이웃

== 외부 링크 ==

* {{매스월드|제목=Fundamental domain}}
{{전거 통제}}

[[분류:리만 곡면]]
[[분류:에르고딕 이론]]
[[분류:위상군]]