기본류 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''기본류'''(基本類, {{llang|en|fundamental class}})는 다양체 전체에 해당하는 호몰로지 동치류이다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[가향 다양체]]라고 하자. 그렇다면 그 최고차 [[호몰로지]] 군은 [[무한 순환군]]과 동형이다.
:<math>H_n(M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>
또한, <math>M</math> 위의 [[방향 (다양체)|방향]]의 선택은 <math>H_n(M)</math>의 생성원(즉, 1 또는 &minus;1)을 고르는 것과 같다. 따라서, [[유향 다양체]]의 경우 이 생성원 <math>[M]\in H_n(M,\mathbb Z)</math>를 <math>M</math>의 '''기본류'''라고 한다.

만약 <math>M</math>이 [[연결 공간]]이지만 비가향공간이라면 정수 계수의 호몰로지를 정의할 수 없다. 하지만 <math>\mathbb Z/2</math> 계수의 호몰로지는 정의할 수 있다. 이 경우
:<math>H_n(M,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2</math>
이고, <math>M</math>의 '''기본류'''는 0이 아닌 원소 <math>0\ne[M]\in H_n(M,\mathbb Z/2)</math>이다.

만약 <math>M</math>이 경계 <math>\partial M</math>을 가진 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]라면, [[상대 호몰로지]]
:<math>H_n(M,\partial M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>
이므로 마찬가지로 기본류를 정의할 수 있다.

== 성질 ==

=== 푸앵카레 쌍대성 ===
[[푸앵카레 쌍대성]]에 의해, 주어진 <math>M</math>의 코호몰로지 동치류 <math>\alpha\in H^k(M)</math>에 대하여 <math>M</math>의 기본류와 <math>\alpha</math> 사이의 합곱은 <math>\alpha</math>와 동형이다:
:<math>\alpha \cong [M]\frown\alpha\in H_{n-k}(M)</math>
이 동형 사상을 다음과 같이 표기하기도 한다.
:<math>[M]\frown \colon H^k(M) \to H_{n-k}(M)</math>

== 같이 보기 ==
* [[콕서터 길이 함수]]
* [[푸앵카레 쌍대성]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic Topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |year= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |isbn=0-521-79540-0|언어=en}}
* {{매스월드|id=FundamentalClass|title=Fundamental class}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]