기번스-호킹 가설 풀이 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''기번스-호킹 가설 풀이'''(Gibbons-Hawking假設풀이, {{llang|en|Gibbons–Hawking ansatz}})는 U(1) 대칭을 가지는 4차원 [[초켈러 다양체]]를 작도하는 [[가설 풀이]]이다.

== 정의 ==
4차원 [[초켈러 다양체]]가 한 [[킬링 벡터장]]을 가져, U(1) 등거리 대칭군을 갖는다고 하자. 그렇다면, 이는 어떤 3차원 공간 위의 U(1) [[주다발]]로 여길 수 있다. 따라서, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 3차원 [[유클리드 공간]]의 [[열린집합]] <math>U \subseteq\mathbb R^3</math>
* <math>U</math> 위의 [[U(1)]] [[주다발]] <math>\pi\colon P \twoheadrightarrow U</math>
* <math>P</math> 위의 [[U(1)]] [[주접속]] <math>A \in \Omega^1(P;\mathrm i\mathbb R)</math>
** 그렇다면, 그 [[주곡률]]은 어떤 <math>F\in\Omega^2(U)</math>에 대하여 <math>\mathrm dA = \pi^*\mathrm iF</math>의 꼴이다. 또한, <math>F/2\pi = \mathrm d\omega </math>인 <math>\omega\in\Omega^1(U)</math>를 고르자. 
* [[매끄러운 함수]] <math>V \colon U \to \mathbb R</math>
또한, 이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>\star\mathrm dV = F / 2\pi</math>
그렇다면, <math>\mathrm d\star\mathrm dV = \mathrm dF/2\pi = 0</math>이므로 <math>V</math>는 [[조화 함수]]이다.

그렇다면, 계량
:<math>g = V(\vec r)\,\mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1}\,(A/2\pi)^2</math>
은 <math>P</math> 위의 [[초켈러 다양체]] [[리만 계량]]을 정의한다. 이를 '''기번스-호킹 가설 풀이'''라고 한다. 구체적으로 <math>A/2\pi=\mathrm d\theta+\omega</math>가 되며, 여기서 <math>\theta</math>는 U(1) 올다발의 올의 좌표로, 주기가 <math>4\pi</math>이다.

== 예 ==
기번스-호킹 가설 풀이를 통하여 [[에구치-핸슨 공간]]이나 기타 [[점근 국소 유클리드 공간]]을 구성할 수 있다. ADE 분류에서, A계 공간들은
:<math>V(\vec r) = \sum_{i=1}^k \frac1{|\vec r-\vec R_i|}</math>
의 꼴의 퍼텐셜로 구성된다.

마찬가지로, [[토브-너트 공간]] 및 기타 점근 국소 평탄 공간({{llang|en|asymptotically locally flat space}}) 역시 이과 같이 구성된다. 이 경우 
:<math>V(\vec r) = 1+\sum_{i=1}^k \frac1{|\vec r-\vec R_i|}</math>
와 같은 퍼텐셜을 사용한다.

== 역사 ==
[[게리 기번스]]와 [[스티븐 호킹]]이 1978년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Gravitational multi-instantons|이름=Gary W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|이름2=Stephen W.|성2=Hawking|저자링크2=스티븐 호킹|저널=Physics Letters B|권=78|호=4|쪽=430–432|날짜=1978-10-09|doi=10.1016/0370-2693(78)90478-1 |언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.macs.hw.ac.uk/~lf32/Talks_files/Ooguri-Vafa.pdf|제목=Notes on the Ooguri–Vafa metric|이름=Lorenzo|성=Foscolo|언어=en|확인날짜=2019-07-04|보존url=https://web.archive.org/web/20190704121731/http://www.macs.hw.ac.uk/~lf32/Talks_files/Ooguri-Vafa.pdf|보존날짜=2019-07-04|url-status=dead}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]