기르사노프 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서 '''기르사노프 정리'''(Girsanov theorem)는 [[측도]]의 변화에 따라 [[확률 과정]]이 어떤 식으로 변하는지에 대해 설명하는 정리이다.

== 정의 ==
[[확률공간]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>와 [[위너 과정]]을 따르는 [[확률 변수]] <math>W_{t}</math>, 그리고 [[여과 (수학)|여과]] <math>\mathcal{F}_{t}^{W}</math>에 순응하는 [[가측 함수]] <math>X_{t}</math>가 있다고 가정하자. 만약 <math>X_{0}=0</math>일 경우 다음이 성립한다.
:<math>Z_t=\mathcal{E} (X)_t\,</math>
여기서 <math>\mathcal{E}(X)</math>는 <math>X</math>의 <math>W</math>에 대한 [[돌레앙 지수]]({{llang|en|Doléans exponential}})이며 다음과 같이 정의한다.
:<math>\mathcal{E}(X)_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} [X]_t \right )</math>
여기서 <math>[X]</math>는 <math>X</math>의 [[이차변동성]]을 나타낸다.

따라서 <math>Z_t</math>는 항상 양의 값을 갖는 [[국소 마팅게일]](local martingale)이며, 확률공간 <math>(\Omega,\mathcal{F})</math>에 대해 다음과 같은 [[라돈-니코딤 도함수]]를 갖는 새로운 확률 측도 <math>\mathbb{Q}</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}} |_{\mathcal{F}_t} = Z_t = \mathcal{E} (X )_t</math>
이 경우 만약 어떤 [[확률과정]] <math>Y_t</math>가 확률 측도 <math>\mathbb{P}</math> 하에서 [[마팅게일]]이라면 아래와 같이 정의된 확률과정 <math>\tilde{Y}_t</math>는 [[여과확률공간]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{F}_{t},\mathbb{Q})</math>의 [[국소 마팅게일]]이다.
:<math>\tilde Y_t = Y_t - \left[ Y,X \right]_t</math>

== 응용 ==
금융공학에서, 기르사노프 정리는 실제 측도(physical measure)로부터 [[위험중립측도]]를 도출해내는 데 사용되며, 이렇게 도출한 [[위험중립측도]]는 [[파생상품]]의 가치를 계산하는 과정에서 매우 유용하게 쓰인다. [[위험중립측도]]를 활용한 가격 결정 방법 가운데 대부분은 자산 가격이 [[위너 과정]]을 따른다고 가정하기 때문에, 확률 과정이 [[위너 과정]]이라는 특수한 경우에 대해서만 이 정리를 증명하더라도 실제로 활용하는 데 큰 문제가 없다.

== 역사 ==
[[카자흐스탄]] 태생의 수학자 이고리 블라디미로비치 기르사노프({{llang|ru|И́горь Влади́мирович Гирсанов}})가 1960년에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|성=Гирсанов|이름=И. В.|날짜=1960|제목=О преобразований одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры|저널=Теория вероятностей и ее применения|권=5|쪽=314–330|zbl=0100.34004|언어=ru}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* Dellacherie, C. and P.-A. Meyer, 1980, "Probabilités et potentiel -- Théorie de Martingales" Chapitre VII, Hermann
* Lenglart, E., 1977, "Transformation de martingales locales par changement absolue continu de probabilités", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit, 39, 65–70

{{전거 통제}}

[[분류:확률미적분학]]
[[분류:수학 정리]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률미분방정식]]