급수 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''급수'''(級數, {{llang|en|series}}, {{수학|∑''a<sub>n</sub>''}})는 [[수열]]의 모든 항을 더한 것, 즉 '''수열의 합'''이다. 항의 개수가 유한한 '''유한급수'''(有限級數, {{llang|en|finite series}})와 항의 개수가 무한한 '''무한급수'''(無限級數, {{llang|en|infinite series}})로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 '''수렴급수'''와 그렇지 않은 '''발산 급수'''로 분류된다. '''산술급수''', '''기하급수'''(등비급수)로도 분류할 수 있다. 급수의 항은 [[실수]] · [[복소수]], 또는 [[벡터]] · [[행렬]] · [[함수]] · [[난수]] 등일 수 있으며, 이들은 주로 [[공식]]이나 [[알고리즘]]으로 표현된다. 유한급수는 [[대수학]]의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 [[해석학 (수학)|해석학]]적 수단, 특히 [[극한]]의 개념을 필요로 한다.
[[수열]]의 [[합]]에는 [[Σ]](시그마, sigma) 기호가 쓰인다.

== 정의 ==
수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>에 대한 (무한) '''급수''' <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>는 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots</math>
급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>의 '''부분합'''(部分合, {{llang|en|partial sum}}) <math>\sum_{n=0}^N a_n</math>은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,
:<math>\sum_{n=0}^N a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N </math>
부분합의 수열 <math>\textstyle\left(\sum_{n=0}^N a_n\right)_{N=0}^\infty</math>이 수렴하면 이 급수를 '''[[수렴급수]]''', 그렇지 않다면 '''[[발산 급수]]'''라고 한다. 수렴급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>의 '''합'''은 그 부분합의 [[수열의 극한|극한]]이며, 이 역시 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>로 표기한다. 즉,
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N a_n</math>
<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|</math>도 수렴하는 수렴급수를 '''[[절대 수렴급수]]''', 그렇지 않은 수렴급수를 '''[[조건 수렴급수]]'''라고 한다.

=== 가산 첨수 급수 ===
[[가산 무한 집합]] <math>I</math> 및, 자연수 집합 <math>\N</math>과 <math>I</math> 사이의 [[일대일 대응]] <math>i\colon\N\to I</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 <math>a\colon I\to\R</math>에 대한 급수 <math>\sum_{i\in I}a_i</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\sum_{i\in I}a_i=\sum_{n=0}^\infty a_{i_n}</math>
다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 <math>\sum_{i\in I}a_i</math>의 합이 일대일 대응 <math>i</math>의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 <math>i</math>에 대하여 [[절대 수렴]]한다면, 다른 모든 <math>i</math>에 대해서도 절대 수렴하며, <math>\sum_{i\in I}a_i</math>의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 <math>i</math>에 대하여 [[조건 수렴]]한다면, 다른 합을 갖게 되는 <math>i</math>가 존재하며, 나아가 [[리만 재배열 정리]]에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 <math>i</math>를 취할 수 있다.

=== 임의 첨수 급수 ===
임의의 집합(특히 [[비가산 집합]]) <math>I</math>가 주어졌다고 하자. 모든 <math>i\in I</math>에 대해 <math>a_i\geq0</math>이라고 가정하자. 급수 <math>\sum_{i\in I}a_i</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\sum_{i\in I}a_i=\sup_{J\subset I,|J|<\infty}\sum_{i\in J}a_i\le\infty</math>
이때 집합 <math>I'=\{i\in I\colon a_i\ne0\}</math>가 [[비가산 집합]]이면 <math>\sum_{i\in I}a_i = \infty</math>이다.
즉 <math>\sum_{i\in I}a_i<\infty</math>이라면
:<math>I'=\bigcup_{n=0}^\infty{\left\{i\in I\colon a_i>\frac1n\right\}}</math>
이며
:<math>\left|\left\{i\in I\colon a_i>\frac1n\right\}\right|<n\sum_{i\in I} a_i<\infty\qquad(\forall n\in\N)</math>
이므로, <math>I'</math>이 가산 개 유한 집합의 [[합집합]]이 되어 [[가산 집합]]이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 <math>a\colon I\to[0,\infty]</math>에 대한 급수 <math>\sum_{i\in I}a_i</math>는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.
:<math>\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I'}a_i</math>

== 수렴성 ==
급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 [[수렴 판정법]]이 존재한다.

=== 발산 급수 ===
수렴급수가 아닌 급수를 [[발산 급수]]라고 한다.

예를 들어, 0이 아닌 상수 <math>c</math>에 대해 상수항 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty c = c+c+c+\cdots</math>
는 발산 급수이다.

또한 다음의  [[조화급수]] 역시 발산한다.
:<math> \sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n}  = {1 \over 1}+{1 \over 2} +{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots  </math>
:<math> \;\; ={1 \over 1}+\left({1 \over 2} \right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots </math>
:<math> > {1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots </math>
:<math> \;\;\;\; = {1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots </math>
:<math> \;\;\;\; = 1+ 0.5 +0.5 +0.5+0.5+  \cdots   </math>
:<math> \;\;\;\; = 1+ 1+1 +  \cdots  </math>
:<math>\therefore   \;  {1 \over 1}+{1 \over 2} +{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots  > 1+ 1+1 +  \cdots </math>
또한 이것은 아래의 [[리만 제타 함수]]  <math>\zeta(1)</math>이기도 하다.
:<math>  {1 \over 1^1}+{1 \over 2^1} +{1 \over 3^1}+{1 \over 4^1}+{1 \over 5^1}+{1 \over 6^1}+{1 \over 7^1}+{1 \over 8^1}+\cdots  </math>

=== 조건 수렴 ===
절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 [[조건 수렴급수]]라고 한다.

예를 들어, [[교대급수]]
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac12+\frac13-\cdots</math>
는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 [[조화급수]]는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.

=== 절대 수렴 ===
급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math>에 항별로 절댓값을 취한 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|</math>이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 [[절대 수렴급수]]라고 한다.

예를 들어, [[기하급수]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac12\right)^n=1-\frac12+\frac14-\cdots</math>
는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한
:<math>\sum_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=1+\frac12+\frac14+\cdots</math>
도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.

=== 수렴 판정법 ===
{{본문|수렴판정법}}
* ([[n항판정법|''n''항판정법]]) 만약 lim<sub>''n''→∞</sub> ''a<sub>n</sub>'' = 0이지 않으면, ∑''a<sub>n</sub>''은 발산한다.
* ([[비교판정법]]) 궁극적으로 |''a<sub>n</sub>''| ≤ |''b<sub>n</sub>''|인 경우, ∑''b<sub>n</sub>''이 절대수렴하면 ∑''a<sub>n</sub>''도 절대수렴하며, ∑''a<sub>n</sub>''이 절대수렴하지 않으면 ∑''b<sub>n</sub>''도 절대수렴하지 않는다.
* ([[비판정법]]) 만약 궁극적으로 {{수직분수|{{!}}''a<sub>n + 1</sub>''{{!}}|{{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}}}} < ''q''이게 되는 ''q'' < 1가 존재한다면, ∑''a<sub>n</sub>''은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 {{수직분수|{{!}}''a<sub>n + 1</sub>''{{!}}|{{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}}}} > ''q''이게끔 하는 ''q'' > 1가 존재한다면, ∑''a<sub>n</sub>''은 절대수렴하지 않는다.
* ([[근판정법]]) 만약 궁극적으로 |''a<sub>n</sub>|''<sup>{{수직분수|''n''}}</sup> < ''q''이게 되는 ''q'' < 1가 존재한다면, ∑''a<sub>n</sub>''은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |''a<sub>n</sub>''|<sup>{{수직분수|''n''}}</sup> > ''q'' 이게끔 하는 ''q'' > 1가 존재한다면, ∑''a<sub>n</sub>''은 절대수렴하지 않는다.
* ([[적분판정법]]) 만약 ''f'' 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 ''f'' (''n'') = ''a<sub>n</sub>''(''n'' = 1, 2, ...)이면, ∑''a<sub>n</sub>''과 {{intmath|int|1|∞}} ''f'' (''x'')''dx''는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
* ([[코시 응집판정법]]) ''a<sub>n</sub>''이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑''a<sub>n</sub>''과 ∑2<sup>''k''</sup>''a''<sub>2<sup>''k''</sup></sub>은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
* ([[교대급수판정법]]) 만약 ''a<sub>n</sub>''이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)''<sup>n</sup>a<sub>n</sub>''은 수렴한다.
* ([[디니 판정법]])

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[총합]]
* [[수렴 판정법]]
* [[수열의 곱]]
* [[조화급수]]
* [[베르누이 수]]
* [[자연로그의 밑]]
* [[합|수열의 합]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}

{{급수}}
{{전거 통제}}

[[분류:미적분학]]
[[분류:급수| ]]