근 판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''근 판정법'''(根判定法, {{llang|en|root test}})은 [[음이 아닌 실수]] 항의 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴]] 여부를 가리는 [[수렴 판정법]]의 하나다. 물론, 이는 실수 항 급수의 [[절대 수렴]] 여부를 가릴 수 있음을 의미한다. 급수의 항의 [[거듭제곱근]]의 [[극한]](또는 [[상극한]])을 사용한다.

== 정의 ==
[[음이 아닌 실수]] 항의 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n</math> (<math>a_n\ge0\forall n\ge0</math>)이 주어졌다고 하자. 또한,
:<math>C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty]</math>
라고 하자. (이는 항상 존재한다.) '''근 판정법'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>C<1</math>이라면, 급수는 수렴한다.
* 만약 <math>C>1</math>이라면, 급수는 발산한다.
* 만약 <math>C=1</math>이라면, 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.
만약 [[극한]]
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty]</math>
이 존재한다면, 이는 위에서 정의한 [[상극한]]과 일치한다. 이 경우에도 극한이 1인 경우 수렴 여부를 알 수 없다.
{{증명}}
만약 <math>C<1</math>이며, <math>C<q<1</math>이라면, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여
:<math>\sqrt[n]{a_n}<q</math>
이다. 즉, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여
:<math>a_n<q^n</math>
이다. [[기하급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty q^n</math>가 수렴하므로, [[비교 판정법]]에 따라 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n</math>는 수렴한다.

만약 <math>C>1</math>이라면, 무한히 많은 수의 <math>n</math>에 대하여
:<math>\sqrt[n]{a_n}>1</math>
이다. 즉, 무한히 많은 수의 <math>n</math>에 대하여
:<math>a_n>1</math>
이다. 특히, <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>은 0으로 수렴할 수 없다. 따라서 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n</math>는 발산한다.
{{증명 끝}}

[[절대 수렴]]의 개념을 사용하여 적으면 다음과 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\lVert\rVert)</math>
* <math>V</math> 항의 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> (<math>a_n\in V</math>)
** 만약 <math>\mathbb K=V=\mathbb R</math>라면, 이는 [[실수]] 항 급수다.
** 만약 <math>\mathbb K=V=\mathbb C</math>라면, 이는 [[복소수]] 항 급수다.
또한,
:<math>C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lVert a_n\rVert}\in[0,\infty]</math>
라고 하자. (만약 <math>V=\mathbb K</math>라면, [[노름]]은 [[절댓값]]이며, <math>\lVert a_n\rVert</math>는 <math>|a_n|</math>이다.) '''근 판정법'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>C<1</math>이라면, 급수는 [[절대 수렴]]한다.
* 만약 <math>C>1</math>이라면, 급수는 발산한다.
* 만약 <math>C=1</math>이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, [[조건 수렴]]할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.
근 판정법의 이 형태는 이전 형태보다 조금 더 강하다. 예를 들어, 두 번째 명제에서 급수가 “[[절대 수렴]]하지 않는다”고 하는 데 그치지 않고 [[조건 수렴]]도 불가능하다고 결론 내린다. 또한, 세 번째 항목은 [[절대 수렴]] 여부를 알 수 없을 뿐 아니라, 세 가지 가능성이 존재한다고 주해한다. “<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]” 조건을 “<math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]”으로 약화하여도 좋지만, 이 경우 [[절대 수렴]]이 수렴을 함의하지 않는다.
{{증명}}
근 판정법의 증명을 음이 아닌 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty\lVert a_n\rVert</math>에 적용한다.
{{증명 끝}}

== 비 판정법과의 관계 ==
{{참고|비 판정법}}
근 판정법은 [[비 판정법]]보다 강한 명제다. 즉, 어떤 급수의 수렴 여부를 비 판정법을 통하여 알 수 있다면, 근 판정법을 통해서도 알 수 있다. 이는 임의의 음이 아닌 실수의 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math> (<math>a_n\ge0\forall n\ge0</math>)에 대하여, 다음 부등식이 성립하기 때문이다.
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>
{{증명}}
두 번째 부등식은 자명하다. (임의의 수열의 하극한은 상극한을 넘지 않는다.) 남은 두 부등식은 실질적으로 [[동치]]다. (하나에 수열 <math>(1/a_n)_{n=0}^\infty</math>을 대입하면 다른 하나가 된다.) 따라서 부등식
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>
을 보이면 족하다. 이는 임의의
:<math>q>\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>
에 대하여
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le q</math>
임을 보이는 것으로 충분하다. 상극한의 정의에 따라, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}<q</math>
이다. 따라서, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\begin{align}
a_n
&=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\\
&\le a_Nq^{n-N}
\end{align}
</math>
이다. 즉, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\sqrt[n]{a_n}\le\sqrt[n]{a_Nq^{-N}}\cdot q</math>
이다. <math>\sqrt[n]{a_Nq^{-N}}</math>은 1로 수렴하므로, 양변에 [[상극한]]을 취하면
:<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le q</math>
를 얻는다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^{\lfloor n/2\rfloor}}=1+1+\frac12+\frac12+\frac14+\frac14+\cdots</math>
를 생각하자. 여기서 <math>\lfloor\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]다. 근 판정법을 사용하자. 항상 <math>a_{2n}=a_{2n+1}</math>이므로,
:<math>\begin{align}
C
&=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\\
&=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{2n}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/2^n}\\
&=1/2\\
&<1
\end{align}
</math>
이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. [[비 판정법]]·[[라베 판정법]]·[[베르트랑 판정법]]으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다. [[비 판정법]] 문서는 라베 판정법을 적용할 수 있지만 근 판정법을 적용할 수는 없는 급수의 예를 제시한다. 즉, 근 판정법과 라베 판정법은 어느 하나가 다른 하나보다 강하지 않다.

=== ''C'' = 1 ===
급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n=1+\frac12+\frac13+\cdots</math>
또는 급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots</math>
는 <math>C=1</math>를 만족하므로, 근 판정법을 통하여 수렴 여부를 알 수 없으며, 특히 비 판정법을 사용할 수도 없다. 실제로 첫 번째 급수는 발산하며 ([[조화급수]]), 두 번째 급수는 수렴한다. 이는 [[라베 판정법]]의 표준적인 증명에서 사용되는 사실의 특수한 경우다 (따라서 라베 판정법을 사용하는 것은 일종의 [[순환논법]]이다). 두 급수에 대하여 유효한 [[수렴 판정법]]으로는 [[적분 판정법]]과 [[코시 응집 판정법]]이 있다.

=== 멱급수의 수렴 반지름 ===
{{본문|코시-아다마르 정리}}
근 판정법은 [[멱급수]]의 [[수렴 반지름]]에 대한 [[코시-아다마르 정리]]의 증명에 사용된다. 이에 따르면, [[멱급수]]
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n\qquad(c_n,z_0\in\mathbb C)</math>
의 [[수렴 영역]]은 <math>z_0</math>를 중심으로 하며 다음 음이 아닌 [[확장된 실수]]를 반지름으로 하는 [[열린 공]]과 [[닫힌 공]] 사이에 있다.<math>r=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}\in[0,\infty]</math>

== 역사 ==
[[프랑스]]의 [[수학자]] [[오귀스탱 루이 코시]]가 처음 고안하였다.

== 같이 보기 ==
* [[비 판정법]]
* [[수렴급수]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
 | language= en
 | author= Knopp, Konrad
 | title= Infinite Sequences and Series
 | url= https://archive.org/details/infinitesequence0000knop_a6t6
 | chapter = &sect;&nbsp;3.2
 | publisher=Dover publications, Inc.,  New York
 | year=1956
 | isbn = 0-486-60153-6}}
* {{서적 인용
 | language= en
 | author= Whittaker, E. T., and Watson, G. N.
 | title= A Course in Modern Analysis
 | chapter = &sect;&nbsp;2.35
 | edition=fourth edition
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=1963
 | isbn = 0-521-58807-3}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Cauchy test}}
* {{매스월드|id=RootTest|제목=Root test}}
* {{플래닛매스|urlname=CauchysRootTest|제목=Cauchy’s root test}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfCauchysRootTest|제목=Proof of Cauchy’s root test}}

[[분류:수렴판정법]]