근 (수학) 문서 원본 보기

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'''근'''(根, value)은 등식의 일종인 [[방정식]]에서 쓰이는 용어로, 특정한 문자에 대한 방정식에서 “특정한 문자”가 ‘어떤 값’으로 변하여 참을 만족했을 때, 그 ‘어떤 값’이 바로 방정식의 근이다.

즉, 방정식을 성립하게 하는 [[미지수]]의 값이 근이다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|쪽=39|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8}}</ref>

한편 이처럼 식에 포함된 문자에 어떤 값을 넣어도 언제나 성립하는 등식일 때, 즉 0이 아닌 함수 <math>f(x)</math>가 있을 때 <math>f(x)=0</math>이 되는 <math>x</math>의 값을 가리키며 '''영점'''(零點)이라고도 한다.

방정식의 개념이 정립된 근원은 그 방정식을 성립시키는 미지수의 값, '''근'''을 구하는 것이 목적인 것이라 방정식을 푸는 것을 '''근을 구하는 것'''이라고도 한다.

근은 함수와 그 함수에 <math>y=0</math>을 대입한 방정식의 관계를 보여주기도 한다. 함수 <math>y=f(x)</math>와 <math>x</math>축의 교점의 <math>x</math>좌표는 방정식<math>f(x) = 0</math>의 근이다. 예를 들어 <math>f(x) = x+9</math>라는 함수가 있을 때, 방정식 <math>f(x)=0</math>에 대하여,<math>f(-9)=0</math>이므로 -9는 이 함수와 <math>x</math>축의 교점의 <math>x</math>좌표이다.

위와 같이 일차방정식의 근은 <math>x</math>의 계수가 실수일때는 항상 실근을 가지기에 실수좌표계에서 일차함수와의 관계를 명료하게 나타내는데 유용하다. 그러나 이차방정식의 근은 <math>x</math>의 계수가 모두 실수임에도 불구하고 허근을 갖는 경우가 있어, 이 경우는 실수 좌표계에서 점으로 나타낼 수없다. 즉, 이차함수와 이차방정식의 관계를 명료하게 나타내는데 어렵다. 따라서 고등수학과정에서 이차함수와 이차방정식의 관계는 단순히 이차함수와 <math>x</math>축의 위치관계만 간단히 다루는것도 실수좌표계는 허수를 점으로 표현할 수 없다는 이유에서이다. 방정식의 근은 복소수의 범위에 국한되지 않고 매우 넓을 수 있다는 가능성을 보여줄 수 있는 증거이기도 하다.

== 근의 구성 ==
모든 [[홀수]]차 [[실수]] 계수 [[다항식]]들은 적어도 하나의 실수인 근을 가진다. [[짝수]]차 다항식의 경우 반드시 실수인 근을 가지는 것은 아니지만, [[대수학의 기본 정리]]에 따르면 모든 ''n''차 다항식은 중근을 포함해서 ''n''개의 [[복소수]] 근을 가진다. 실수 계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 [[켤레복소수]] 또한 그 다항식의 근이다.

어떤 방정식이 <math>0x = 0</math>의 꼴로 나타내어지면 근의 개수가 무한해지므로 이 경우를 '''부정'''(不定)이라고 한다. 반대로, 방정식이 <math>0x = a</math>''(a≠0)''의 꼴로 나타내어진다면 근이 존재하지 않게 되므로 이 경우를 '''불능'''(不能)이라고 한다.

== 근의 공식 ==
1차부터 4차까지의 다항방정식은 사칙 연산과 [[제곱근]]만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 '''근의 공식'''이라 하며 특히 [[이차 방정식]]의 <math>\textstyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>가 대표적이다. 5차 이상의 다항방정식은 [[w:Abel–Ruffini theorem|아벨-루피니 정리]]에 의해 일반적인 대수적 근의 공식이 존재하지 않음이 알려져 있다. 다만, 타원함수 등의 초월함수를 이용하면 5차 이상의 방정식도 근의 공식을 만들 수 있다.

== 어원 ==

페르시아의 수학자 [[콰리즈미]](783~850)의 《{{임시링크|약분·소거 계산론|en|The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing}}》에는 ‘근본’·‘기반’·‘뿌리’ 등을 뜻하는 아랍어 단어인 ‘자드르({{lang|ar|جذر}})’가 여러 용도로 쓰인다. ‘자드르({{lang|ar|جذر}})’는 단위면적을 부르는 말로도 썼는데, 예를 들어 특정한 조건을 만족하는 널판지의 단위면적을 구하는 문제는 방정식의 근을 구하는 문제로 치환할 수 있다. 중세 유럽인들이 이 책을 라틴어로 번역하면서 ‘자드르({{lang|ar|جذر}})’를 ‘뿌리’라는 뜻의 단어 ‘라딕스({{lang|la|radix}})’로 번역했다.<ref>{{저널 인용 |성=Gandz |이름=Solomon |날짜=1928-02 |제목=On the Origin of the Term "Root." Second Article |url=https://www.jstor.org/stable/2299460 |저널=The American Mathematical Monthly |출판사= |권=35 |호=2 |쪽=67-75 |doi= |확인날짜= }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[제곱근]]
* [[이차방정식]]
* [[극점 (복소해석학)|극점]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Root |urlname=Root}}

[[분류:초등 수학]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:0]]