근축 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''근축'''(根軸, {{llang|en|radical axis}})은 [[동심원]]이 아닌 두 [[원 (기하학)|원]]에 대한 [[방멱]]이 같은 [[점 (기하학)|점]]들의 [[자취]]이다. 근축은 두 원의 [[중심 (기하학)|중심]]을 잇는 [[직선]]의 [[수직|수선]]을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 [[교점]]을 지나는 공통 [[할선]]이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 [[접점]]을 지나는 [[공통 접선]]이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자,<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|32, §45}} 두 원 모두에 [[직교]]하는 원의 중심들의 자취이다.<ref name="Johnson" />{{rp|34, §49}} 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 [[현 (기하학)|현]]의 최소 길이가 같은 것과 [[동치]]이다.<ref name="Johnson" />{{rp|32, §45}} 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 [[무한원 직선]]으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.<ref name="Eves">{{서적 인용
|성=Eves
|이름=Howard Whitley
|제목=College Geometry
|언어=en
|출판사=Jones and Bartlett Publishers
|날짜=1995
|isbn=0-86720-475-3
}}</ref>{{rp|92, Remark 1.10.4}}

중심이 [[공선점]]이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 '''근심'''(根心, {{llang|en|radical center}})이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 [[평행]]하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 [[무한원점]]을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 [[집합]]을 '''[[동축원 다발]]'''이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다.

근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 [[구 (기하학)|구]]의 '''근평면'''(根平面, {{llang|en|radical plane}})의 개념과 <math>n</math>차원 [[초구]]의 '''근초평면'''(根超平面, {{llang|en|radical hyperplane}})의 개념을 얻는다.
{{목차숨김}}

== 정의 ==
[[평면]] 위에서, [[중심 (기하학)|중심]]이 서로 다른 두 [[점 (기하학)|점]] <math>(a,b),(a',b')</math>인 두 [[원 (기하학)|원]] <math>C,C'</math>의 방정식이
:<math>x^2+y^2-2ax-2by+c=0</math>
:<math>x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>C,C'</math>에 대한 점 <math>(x,y)</math>의 [[방멱]]은 각각 두 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, <math>C,C'</math>에 대한 방멱이 같은 점의 [[자취]] <math>l</math>의 방정식은
:<math>2(a'-a)x+2(b'-b)y-(c'-c)=0</math>
이다. 이는 중심 <math>(a,b),(a',b')</math>을 잇는 직선의 [[수직|수선]]이다. 이 직선 <math>l</math>을 두 원 <math>C,C'</math>의 '''근축'''이라고 한다.

한 중심 <math>(a',b')</math>이 다른 중심 <math>(a,b)</math>에 무한히 가까워질 때, 근축 <math>l</math>은 <math>C,C'</math>이 놓인 평면 위의 [[무한원 직선]]에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다.<ref name="Eves" />{{rp|92, Remark 1.10.4}}<ref name="Johnson" />{{rp|32, §45}} 즉, 근축은 [[사영 직선]]으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의된다. 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.<ref name="Eves" />{{rp|92, Remark 1.10.4}}

위 정의는 <math>C,C'</math> 가운데 적어도 하나가 [[점원과 허원|점원]]이거나 [[점원과 허원|허원]]인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱 <math>a^2-c</math>이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.

=== 근심 ===
평면 위에서, 중심이 [[공선점]]이 아닌 세 점 <math>O,O',O''</math>인 세 원 <math>C,C',C''</math>을 생각하자. 그렇다면, 총 세 쌍의 원의 근축 <math>l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}</math>은 각각 삼각형을 이루는 중심선 <math>OO',O'O'',OO''</math>의 수선이므로, 서로 평행하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축 <math>l_{C,C'},l_{C',C''}</math>의 교점 <math>P</math>는 <math>C,C',C''</math>에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축 <math>l_{C,C''}</math> 위의 점이다. 따라서 세 근축 <math>l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}</math>은 [[공점선]]을 이룬다. 이들의 공통점 <math>P</math>를 세 원 <math>C,C',C''</math>의 '''근심'''이라고 한다.

세 원의 중심 <math>O,O',O''</math>이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축 <math>l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}</math> 가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르다고 하자. 그렇다면, 이들은 모두 직선 <math>OO'O''</math>의 수선이므로 서로 [[평행]]한다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 [[무한원점]]에서 만난다. 이 경우 이 무한원점을 세 원 <math>C,C',C''</math>의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우, 편의상 <math>C,C'</math>이 동심원이고 <math>C''</math>은 이들과 동심원이 아니라고 하자. 그렇다면, <math>l_{C,C'}</math>은 무한원 직선이고 <math>l_{C',C''},l_{C,C''}</math>은 평행하므로, 세 근축은 <math>l_{C',C''},l_{C,C''}</math>의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 마찬가지로 이 무한원점을 세 원 <math>C,C',C''</math>의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 [[사영 평면]] 위의 점으로서 [[동축원]]이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.

위와 같은 정의는 <math>C,C',C''</math> 가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.

== 성질 ==
동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다. 두 원 <math>C,C'</math>이 서로 다른 두 점 <math>P,Q</math>에서 만날 경우, <math>C,C'</math>의 근축은 공통 [[할선]] <math>PQ</math>이다. 또한, 두 원 <math>C,C'</math>이 점 <math>T</math>에서 접할 경우, <math>C,C'</math>의 근축은 <math>T</math>를 지나는 [[공통 접선]]이다.

=== 원의 중심과의 거리 ===
중심이 <math>O,O'</math>이고 반지름이 <math>r,r'</math>인 동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>의 중심 <math>O,O'</math>과 근축 <math>l</math> 사이의 거리는
:<math>d(O,l)=\frac{{OO'}^2+r^2-{r'}^2}{2{OO'}}</math>
:<math>d(O',l)=\frac{{OO'}^2+{r'}^2-r^2}{2{OO'}}</math>
이다.<ref name="Johnson" />{{rp|32, §45}}

=== 직교원과의 관계 ===
동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>의 공통 [[직교원]]의 중심은 <math>C,C'</math>의 근축 위의 점이다. 원 <math>C</math>의 직교원의 중심이 두 원 <math>C,C'</math>의 근축 위의 점이라면, 이는 <math>C'</math>의 직교원이다. 점 <math>P</math>가 동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>의 근축 위의 점이고, <math>C,C'</math>의 외부점이라면, 중심이 <math>P</math>인 <math>C,C'</math>의 공통 직교원은 (유일하게) 존재한다. 점 <math>P</math>가 동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>의 근축 위의 점이고, <math>C,C'</math>의 내부점이라면, 중심이 <math>P</math>이고 <math>C</math>와의 공통 할선과 <math>C'</math>와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재한다.

중심이 공선점이 아닌 세 원 <math>C,C',C''</math>의 근심이 <math>C,C',C''</math>의 외부점이라면,  <math>C,C',C''</math>의 공통 직교원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 <math>C,C',C''</math>의 근심이다.<ref name="Johnson" />{{rp|34, §49}} 중심이 공선점이 아닌 세 원 <math>C,C',C''</math>의 근심이 <math>C,C',C''</math>의 내부점이라면, <math>C</math>와의 공통 할선과 <math>C'</math>와의 공통 할선 그리고 <math>C''</math>와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 <math>C,C',C''</math>의 근심이다.<ref name="Johnson" />{{rp|34, §49}}

=== 동축원 다발 ===
{{본문|동축원 다발}}
평면 위에서, 서로 다른 두 점 <math>(a,b),(a',b')</math>을 중심으로 갖는 두 원 <math>C,C'</math>의 방정식이
:<math>x^2+y^2-2ax-2by+c=0</math>
:<math>x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0</math>
이고, <math>C,C'</math>의 근축이 <math>l</math>이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원 <math>C''</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>C''=C</math>이거나, <math>C''</math>와 <math>C</math>의 근축은 <math>l</math>이다.
* <math>C''=C'</math>이거나, <math>C''</math>와 <math>C'</math>의 근축은 <math>l</math>이다.
* <math>C''</math>는 <math>C</math>와 <math>C'</math>으로 생성되는 [[동축원 다발]]의 원소이다. 즉, <math>C''</math>는 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는다.{{mindent|<math>\lambda(x^2+y^2-2ax-2by+c)+\lambda'(x^2+y^2-2a'x-2b'y+c')=0</math>}}여기서 <math>\lambda,\lambda'</math>은 실수이며, <math>\lambda^2+{\lambda'}^2\ne 0</math>과 <math>\lambda+\lambda'\ne 0</math>을 만족시킨다.
'동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>으로 생성된 동축원 다발을 <math>\mathcal C</math>라고 하면, <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 서로 다른 두 원 <math>C'',C'''\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>C'',C'''</math>으로 생성되는 동축원 다발 역시 <math>\mathcal C</math>이다.

==== 분류 ====
{{본문|동축원 다발#분류}}
동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발 <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal C</math>의 근축은 <math>\mathcal C</math>의 유일한 직선 원소이다. 적절한 데카르트 좌표계를 취하여 <math>\mathcal C</math>의 중심선을 <math>x</math>축으로 삼고 근축을 <math>y</math>축으로 삼았을 때, <math>\mathcal C</math>의 원소는 (근축인 <math>y</math>축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다.
:<math>x^2+y^2-2ax+c=0</math>
여기서 <math>c\in\mathbb R</math>는 고정된 상수이며, <math>a\in\mathbb R</math>는 매개변수이다. 만약 <math>c<0</math>이라면 <math>\mathcal C</math>를 '''[[타원형 동축원 다발]]'''이라고 하고, 만약 <math>c=0</math>이라면 <math>\mathcal C</math>를 '''[[포물형 동축원 다발]]'''이라고 하며, 만약 <math>c>0</math>이라면 <math>\mathcal C</math>를 '''[[쌍곡형 동축원 다발]]'''이라고 한다.

==== 직교 동축원 다발 ====
{{본문|동축원 다발#직교 동축원 다발}}
동심원이 아닌 두 원 <math>C,C'</math>의 공통 직교원은 <math>C,C'</math>으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발 <math>\mathcal C</math>의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이 <math>\mathcal C</math>의 근축이고 근축이 <math>\mathcal C</math>의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발 <math>\mathcal C</math>의 '''[[직교 동축원 다발]]''' <math>\mathcal C^\perp</math>이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 [[대칭 관계]]이다. 즉, <math>\mathcal C^{\perp\perp}=\mathcal C</math>가 성립한다. 위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.
:<math>x^2+y^2-2by-c=0</math>
여기서 <math>b\in\mathbb R</math>는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다.

== 작도 ==
적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축의 [[작도]]는 자명하다.

중심이 서로 다른 두 점 <math>O,O'</math>인 교점 없는 두 원 <math>C,C'</math>이 주어졌다고 하자. 중심이 직선 <math>OO'</math> 위의 점이 아니고, 원 <math>C</math>와 두 점 <math>A,B</math>에서 만나고, 원 <math>C'</math>과 두 점 <math>A',B'</math>에서 만나는 원 <math>C''</math>을 작도하자. 그렇다면, 직선 <math>AB</math>와 <math>A'B'</math>은 평행하지 않는다. 직선 <math>AB</math>와 <math>A'B'</math>의 교점을 <math>P</math>라고 하자. 그렇다면, <math>P</math>는 <math>C,C'</math>의 근축 위의 점이다. 점 <math>P</math>를 지나는 직선 <math>OO'</math>의 수선 <math>l</math>을 작도하자. 그렇다면, 직선 <math>l</math>은 두 원 <math>C,C'</math>의 근축이다.<ref name="Berger" />{{rp|301, §10.7.10.1}}

== 고차원의 경우 ==
=== 근초평면 ===
<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에서, 서로 다른 두 [[점 (기하학)|점]] <math>a,a'\in\mathbb R^n</math>을 [[중심 (기하학)|중심]]으로 하고, <math>r,r'>0</math>을 [[반지름]]으로 갖는 두 [[초구]] <math>S,S'</math>를 생각하자. 그렇다면, [[집합]]
:<math>\{x\in\mathbb R^n\colon\Vert x-a\Vert^2-r^2=\Vert x-a'\Vert^2-{r'}^2\}</math>
은 중심 <math>a,a'</math>를 잇는 [[직선]]에 [[직교]]하는 [[초평면]]을 이룬다. (여기서 [[등식]]의 좌변과 우변은 각각 <math>x</math>의 <math>S,S'</math>에 대한 [[방멱]]에 대응하며, <math>\Vert\cdot\Vert</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 표준적인 [[노름]]을 나타낸다.) 이를 두 초구 <math>S,S'</math>의 '''근초평면'''이라고 한다.<ref name="Berger">{{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}</ref>{{rp|301, §10.7.10.1}} 특히 <math>n=2,3</math>일 경우 각각 두 [[원 (기하학)|원]]의 '''근축''' 또는 두 [[구 (기하학)|구]]의 '''근평면'''이라고 부른다.

<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에서, 같은 초평면 위에 있지 않은 점 <math>a_1,\dots,a_{n+1}\in\mathbb R^n</math>을 중심으로 하는 <math>n+1</math>개의 초구 <math>S_1,\dots,S_{n+1}</math>을 생각하자. 그렇다면, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가진다. 이를 <math>n+1</math>개의 <math>n</math>차원 초구 <math>S_1,\dots,S_{n+1}</math>의 '''근심'''이라고 한다.<ref name="Berger" />{{rp|301-302, §10.7.10.2}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Radical axis}}
* {{매스월드|id=RadicalLine|title=Radical line}}

[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:해석기하학]]