근접 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|대수 (환론)|[[순서론]]과 [[조합론]]에서, 결합 관계({{llang|en|incidence}})를 추상화한 대수적 구조|[[결합법칙]]({{llang|en|associativity}})을 만족시키는 일반적인 [[대수 (환론)|대수]]}}
[[순서론]]에서 '''근접 대수'''(近接代數, {{llang|en|incidence algebra}})는 [[부분 순서 집합]]에 대하여 정의된, 일반화 [[뫼비우스 반전 공식]]이 성립하는 [[단위 결합 대수]]이다.

== 정의 ==
'''국소 유한 부분 순서 집합'''({{llang|en|locally finite poset}})은 모든 폐구간이 유한집합인 [[부분 순서 집합]]이다. 즉, [[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>가 주어지고, 임의의 <math>a,b\in P</math>에 대하여 [[폐구간]]
:<math>[a,b]=\{x\in P\colon a\le x\le b\}</math>
가 유한집합이라면, <math>(P,\le)</math>를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>와, (단위원을 갖는) [[가환환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하고, <math>\mathcal C(P)\subset\mathcal P(P)</math>가 <math>P</math> 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. <math>P</math> 위의, <math>R</math> 계수의 '''근접 대수''' <math>I(P;R)</math>는 <math>\mathcal C(P)\to R</math> 꼴의 함수들의 집합이다.

<math>f\in I(P;R)</math>에 대하여, 편의상 <math>f([a,b])=f(a,b)</math>로 쓰자. 또한, <math>f\in I(P;R)</math>는 일종의 [[행렬]]로 생각할 수 있다. 즉, <math>f(a,b)</math>를 (무한할 수 있는) 행렬
:<math>(f)_{a,b}=\begin{cases}
f(a,b)&a\le b\\
0&a\not\le b
\end{cases}</math>
로 생각할 수 있다.

=== 점별 덧셈과 곱셈 ===
근접 대수 <math>I(P;R)</math> 위에는 다음과 같은 <math>R</math>-[[대수 (환론)|대수]] 구조 및 [[합성곱]]을 정의할 수 있다.
* (덧셈) <math>(f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)</math>
* (곱셈) <math>(fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)</math>
덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 <math>((I(P;R),+,\cdot)</math>는 <math>R</math>-[[가환 대수]]를 이룬다. 즉, <math>I(P;R)</math>는 [[가환환]]을 이루며, 표준적인 단사 [[환 준동형]]
:<math>R\hookrightarrow I(P;R)</math>
:<math>r\mapsto ([a,b]\mapsto r)</math>
이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 [[상수 함수]]
:<math>\zeta\in I(P;R)</math>
:<math>\zeta(a,b)=1\qquad\forall a,b\in P</math>
이며, 이를 '''제타 함수'''({{llang|en|zeta function}})라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 [[아다마르 곱]]에 대응한다.

=== 합성곱 ===
또한, 근접 대수 <math>I(P;R)</math> 위에는 '''합성곱'''({{llang|en|convolution}})이라는 다음과 같은 이항 연산 <math>*</math>이 존재한다.
:<math>(f*g)(a,b)=\sum_{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b)</math>
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,
:<math>(f*g)_{ab}=\sum_xf_{ax}g_{xb}</math>
가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.

합성곱은 [[결합 법칙]] 및 덧셈과의 [[분배 법칙]]을 따르지만, 일반적으로 [[교환 법칙]]은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 '''[[크로네커 델타|델타 함수]]''' <math>\delta\in I(P;R)</math>이다.
:<math>\delta(a,b)=\begin{cases}1&a=b\\0&a\ne b\end{cases}</math>
이는 일종의 [[단위 행렬]]이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 <math>(I(P;R),+,*)</math>는 <math>R</math> 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.

[[체 (수학)|체]] 계수의 근접 대수의 원소 <math>f\in I(P;R)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
* 임의의 <math>a\in P</math>에 대하여 <math>f(a,a)\ne0</math>이다.

제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 '''[[뫼비우스 함수]]''' <math>\mu\in I(P;R)</math>라고 하며 다음과 같다.
:<math>\mu(a,b)=\begin{cases}
1&a=b\\
-\sum_{a\le x< b}\mu(a,x)&a<b
\end{cases}</math>
:<math>\zeta*\mu=\mu*\zeta=\delta</math>

=== 함수 위의 작용 ===
국소 유한 부분 순서 집합 <math>P</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>|\{x\in P\colon a\le x\}|<\aleph_0\qquad\forall a\in P</math>
(<math>P</math>가 [[최대 원소]]를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, [[가환환]] <math>R</math> 및 <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 <math>(I(P;R),+,*)</math>는 <math>P</math> 위의, <math>M</math> 값을 갖는 함수의 집합 <math>M^P</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>(f*\phi)(a)=\sum_{a\le b}f(a,b)\phi(b)</math>
즉, <math>M^P</math>는 [[환 (수학)|환]] <math>(I(P;R),+,*)</math>의 [[왼쪽 가군]]을 이룬다.

마찬가지로, 만약 <math>P</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>|\{x\in P\colon x\le a\}|<\aleph_0\qquad\forall a\in P</math>
(<math>P</math>가 [[최소 원소]]를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, [[가환환]] <math>R</math> 및 <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 <math>(I(P;R),+,*)</math>는 <math>P</math> 위의, <math>M</math> 값을 갖는 함수의 집합 <math>M^P</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>(f*\phi)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)f(a,b)</math>
즉, <math>M^P</math>는 [[환 (수학)|환]] <math>(I(P;R),+,*)</math>의 [[오른쪽 가군]]을 이룬다.

만약
:<math>\chi=f*\phi\qquad(\chi,\phi\in M^P,\;f\in I(P;R))</math>
이며, <math>f</math>가 합성곱 아래 역원을 갖는다면
:<math>\phi=f^{-1}*\chi</math>
가 된다. 특히, 만약 <math>f=\zeta</math>일 경우 <math>f^{-1}=\mu</math>이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Rota"/>
:<math>\chi(a)=(\zeta*\phi)(a)=\sum_{a\le b}\phi(b)\iff \phi(a)=(\mu*\chi)(a)=\sum_{a\le b}\mu(a,b)\chi(b)</math>
마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Rota"/>
:<math>\chi(b)=(\phi*\zeta)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)\iff \phi(b)=(\chi*\mu)(b)=\sum_{a\le b}\chi(a)\mu(a,b)</math>
이를 '''뫼비우스 반전 공식'''({{llang|en|Möbius inversion formula}})이라고 한다. 이는 [[수론]]에서의 [[뫼비우스 반전 공식]]의 일반화이다.

== 예 ==
대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 <math>R=\mathbb Z</math>이다.
{| class="wikitable"
|-
! 집합 <math>P</math> !! 부분 순서 <math>a\le b</math> !! 뫼비우스 함수 <math>\mu(a,b)</math> !! 반전 공식
|-
| 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math> || <math>a</math>는 <math>b</math>의 약수: <math>a \mid b</math> || <math>\mu(b/a)</math> (<math>\mu(r)</math>는 수론에서의 [[뫼비우스 함수]]) || [[뫼비우스 반전 공식]]
|-
| 음이 아닌 정수의 집합 <math>\mathbb N</math> || <math>a\le b</math> || <math>\begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1<b\end{cases}</math> || [[유한 차분]]의 기본 정리 <math>\Delta\mathcal If=f</math> (<math>\Delta f(n)=f(n)-f(n-1)</math>는 [[유한 차분]], <math>\mathcal If(n)=f(0)+f(1)+\cdots+f(n)</math>)
|-
| [[유한 집합]] <math>E</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(E)</math> || <math>a\subseteq b</math> || <math>(-1)^{|b\setminus a|}</math> || [[포함배제의 원리]]
|-
| [[유한 집합]] <math>E</math>의 [[집합의 분할|분할]]들의 집합 || <math>a</math>가 <math>b</math>보다 더 세밀한 분할 || <math>(-1)^{|a|-|b|}(2!)^{|b|_3}(3!)^{|b|_4}\cdots((n-1)!)^{|b|_{|a|}}</math>. <math>|a|</math>는 <math>a</math>의 블록 수, <math>|b|</math>는 <math>b</math>의 블록 수, <math>|b|_i</math>는 정확하게 <math>i</math>개의 <math>a</math>-블록들을 포함하는 <math>b</math>-블록들의 수 ||
|}

== 역사 ==
[[잔카를로 로타]]가 1964년 정의하였다.<ref name="Rota">{{저널 인용|성=Rota|이름=Gian-Carlo |저자링크=잔카를로 로타|날짜=1964|제목=On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/rota1.pdf|저널=Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete|권=2|호=4|쪽= 340–368|doi=10.1007/BF00531932|zbl= 0121.02406|issn=0044-3719|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | first=Eugene | last=Spiegel | 이름2=Christopher J. |성2=O’Donnell | title=Incidence algebras | publisher=Marcel Dekker | isbn=978-0-8247-0036-2 | 날짜=1997 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=206 | url = https://www.crcpress.com/Incidence-Algebras/Spiegel-ODonnell/9780824700362 | 언어=en }}
* {{서적 인용 | 제목=Möbius inversion in physics | 이름= Nanxian |성= Chen | 출판사=World Scientific | 총서=
Tsinghua Report and Review in Physics | 권=1|isbn=978-981-4291-62-0 |날짜=2010-04|doi=10.1142/7560|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Möbius inversion}}

[[분류:대수적 조합론]]
[[분류:순서론]]