근방 문서 원본 보기

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[[파일:Neighborhood illust1.svg|섬네일|근방 <math>N(p,r)</math>의 표현: 평면 위의 집합 <math>V</math>는, <math>p</math> 주위의 작은 원반이 <math>V</math>에 포함되었다면 점 <math>p</math>의 근방이다.]]

[[일반위상수학]]에서 '''근방'''(近傍, {{llang|en|neighborhood}})은 어떤 점의 주위를 포함하는 [[집합]]이다. 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않은 채 어느 정도 '움직일' 수 있다는 것이다. 근방은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 속의 기본적인 개념의 하나로, [[열린집합]]과 [[내부 (위상수학)|내부]]의 개념과도 밀접히 연관되어 있다.

== 정의 ==
=== 점의 근방 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 속의 점 <math>x\in X</math>의 '''근방'''은 ''x''를 열린 부분집합의 원소로 포함하는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합 <math>U</math>에 대하여 <math>X\supset V\supset U\ni x</math>가 성립할 경우, <math>V\subset X</math>를 ''x''의 근방이라 한다.

점 <math>x\in X</math>의 '''열린 근방'''은 [[열린집합]]인 근방이다. 즉, 어떤 열린 집합 <math>U</math>가 <math>U\ni x</math>를 만족시킨다면, <math>U</math>는 <math>x</math>의 열린 근방을 이룬다.

''x''의 '''빠진 근방'''({{llang|en|deleted neighborhood}})은 <math>V\setminus\{x\}</math> 꼴의 집합이다. 빠진 근방은 이름과 달리 근방이 아니다.

=== 집합의 근방 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 속의 부분공간 <math>Y\subset X</math>의 '''근방'''은 <math>Y</math>를 열린 부분집합의 부분집합으로 가지는 집합이다. 즉, 어떤 열린집합 <math>U</math>에 대하여 <math>X\supset V\supset U\supset Y</math>가 성립할 경우, <math>V\subset X</math>를 <math>Y</math>의 근방이라 한다.

== 예 ==
구체적인 공간에서의 근방은 다음과 같이 정의할 수 있다.

==== 실수선에서의 정의 ====
<math>x</math>를 임의의 [[실수]]라 하자. 이 때, [[반지름]]이 <math>r</math>인 <math>x</math>의 근방 <math>N(x;r)</math>은 다음과 같은 [[집합]]으로 정의된다.

:<math>N(x;r) = \{ y \in \mathbb{R} :  | y - x | < r \}</math>

즉, <math>\mathbb R</math>에서의 근방은 개구간 <math>(x-r,x+r)</math>과 같다. 또, 여기서 <math>x</math>가 빠진 집합을 [[반지름]]이 <math>r</math>인 <math>x</math>의 '''빠진 근방'''(deleted neighborhood) <math>N'(x;r)</math>이라 하고 다음과 같이 정의한다.

:<math>N' (x;r) = N(x;r) \setminus \{ x \}</math>

=== 유클리드 공간에서의 정의 ===
<math>\mathbb{R}^n</math>에서 [[반지름]]이 <math>r</math>인 <math>\mathbf{x}</math>의 근방 <math>N(x;r)</math>은 다음과 같은 [[집합]]으로 정의된다.
:<math>N(\mathbf{x};r) = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n :  || \mathbf{y} - \mathbf{x} || < r \}</math>

정의에서 보다시피, <math>n = 2</math>일 때는 <math>\mathbf{x}</math>가 중심이고 반지름이 <math>r</math>이며 경계가 빠진 원판을 의미하고, <math>n = 3</math>일 때는 <math>\mathbf{x}</math>가 중심이고 반지름이 <math>r</math>이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 [[반지름]]이 <math>r</math>인 <math>\mathbf{x}</math>의 빠진 근방 <math>N'(\mathbf{x};r)</math>은 다음과 같은 [[집합]]으로 정의된다.
:<math>N' (\mathbf{x};r) = N (\mathbf{x};r) \setminus \{ \mathbf{x} \}</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Neighbourhood|first=B.A.|last=Pasynkov}}
* {{매스월드|id=Neighborhood|title=Neighborhood|author=Barile, Margherita; Weisstein, Eric W.}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:해석학 (수학)]]