극한 주기 궤도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Limit cycle Poincare map.svg|섬네일|오른쪽|안정 극한 주기 궤도의 [[푸앵카레 사상]]. 안정 극한 주기 궤도는 굵은 검은 선으로 표시하였고, 이로 수렴하는 다른 궤도들은 가는 검은 선으로 표시하였다.]]
[[파일:VanDerPolPhaseSpace.png|섬네일|[[판데르폴 진동자]]에서의 극한 주기 궤도]]
[[동역학계 이론]]에서 '''극한 주기 궤도'''(極限週期軌道, {{llang|en|limit cycle}})는 주기 궤도 가운데 적어도 하나 이상의 다른 궤도의 [[극한 집합]]을 이루는 것이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 연속 시간 [[동역학계]]
:<math>\phi\colon\mathbb R\times X\to X</math>
:<math>\forall x\in X\colon\phi(0,x)=x</math>
:<math>\forall t_1,t_2\in\mathbb R\forall x\in X\colon\phi(t_1,\phi(t_2,x))=\phi(t_1+t_2,x)</math>
위의, 초기 조건 <math>x\in X</math>의 '''궤도'''(軌道, {{llang|en|orbit}})는 다음과 같은 꼴의 집합이다.
:<math>\gamma(x)=\{\phi(t,x)\colon t\in\mathbb R\}</math>
이 동역학계의 '''주기 궤도'''(週期軌道, {{llang|en|periodic orbit}}, {{lang|en|cycle}})는 다음 조건을 만족시키는 초기 조건 <math>x</math>에 대한 궤도이다.
:<math>\exists t\ne0\colon\phi(t,x)=x</math>
'''극한 주기 궤도'''는 다음 조건을 만족시키는 주기 궤도 <math>\gamma(x)</math>이다.
* <math>\omega_\pm(y)=\gamma(x)</math>가 되는 <math>y\in X\setminus\gamma(x)</math>가 존재한다.
여기서 <math>\omega_\pm</math>은 안정 또는 불안정 [[극한 집합]]이다.

극한 주기 궤도 <math>\gamma(x)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>U\supset\gamma(x)</math>이 존재한다면, <math>\gamma(x)</math>를 '''안정 극한 주기 궤도'''(安定極限週期軌道, {{llang|en|stable limit cycle}})이라고 한다.
* 모든 <math>y\in U</math>에 대하여, <math>\omega_+(y)=\gamma(x)</math>
극한 주기 궤도 <math>\gamma(x)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>U\supset\gamma(x)</math>이 존재한다면, <math>\gamma(x)</math>를 '''불안정 극한 주기 궤도'''(不安定極限週期軌道, {{llang|en|unstable limit cycle}})이라고 한다.
* 모든 <math>y\in U</math>에 대하여, <math>\omega_-(y)=\gamma(x)</math>
그러나 안정 극한 주기 궤도도, 불안정 극한 주기 궤도도 아닌 극한 주기 궤도가 존재한다. 안정 극한 주기 궤도는 [[끌개]]의 예이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Periodic orbit|저널=Scholarpedia|doi=10.4249/scholarpedia.1358|이름=Jeff|성=Moehlis|이름2=Kresimir|성2=Josic|이름3=Eric T.|성3=Shea-Brown|issn=1941-6016|권=1|호=7|쪽=1358|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=What is a limit cycle?|doi=10.1080/00207170801927163|이름= Rush D., III|성=Robinett|이름2=David G.|성2=Wilson|저널=International Journal of Control|권=81|호=12|날짜=2008|쪽=1886–1900|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Limit cycle}}
* {{매스월드|id=LimitCycle|title=Limit cycle}}

== 같이 보기 ==
* [[평형점]]
* [[끌개]]
* [[푸앵카레-벤딕손 정리]]
* [[호프 분기]]

[[분류:동역학계]]
[[분류:극한 집합]]
[[분류:비선형계]]