극한 (범주론) 문서 원본 보기

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[[수학]]의 한 분야인 [[범주론]]에서 '''극한'''(極限, {{llang|en|limit}})은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구성들(예로서 [[곱 (범주론)|곱]]이나 [[역극한]] 등)이 갖는 공통된 성질을 잡아내어 일반화시킨 개념이다. 그 쌍대 개념인 '''쌍대극한'''(雙對極限, {{llang|en|colimit}})은 [[서로소 합집합]]이나 [[직합]] 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 [[보편 사상]] 및 [[수반 함자]] 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

== 정의 ==
=== 뿔을 통한 정의 ===
[[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''뿔'''({{llang|en|cone}}) <math>(N,(\psi_X\colon N\to F(X))_{X\in J})</math>은 다음 데이터로 구성된다.
* <math>C</math>의 대상 <math>N\in C</math>
* 모든 대상 <math>X\in J</math>에 대하여, <math>C</math>의 사상 <math>\psi_X\colon N\to F(X)</math>
이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 대상 <math>X,Y\in J</math> 및 사상 <math>F\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\psi_Y=F(f)\circ\psi_X</math>
[[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''극한'''은 다음 [[보편 성질]]을 만족시키는 뿔 <math>(L,(\phi_X)_{X\in J})</math>이다.
* 모든 <math>F</math>의 뿔 <math>(N,(\psi_X)_{X\in J})</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 <math>u\colon N\to L</math>이 존재한다.
** 모든 대상 <math>X\in J</math>에 대하여, <math>\psi_X=\phi_X\circ u</math>
<div style="text-align: center;">[[파일:Functor cone (extended).svg]]</div>

주어진 함자의 극한은 유일한 [[동형]] 아래 유일하다. 이는 극한의 [[보편 성질]]에 의한다. 만약 극한의 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 '''약한 극한'''({{llang|en|weak limit}})의 개념을 얻는다.

[[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''쌍대뿔'''({{llang|en|cocone}}) <math>(N,(\psi_X\colon F(X)\to N)_{X\in J})</math>은 다음 데이터로 구성된다.
* <math>C</math>의 대상 <math>N\in C</math>
* 모든 대상 <math>X\in J</math>에 대하여, <math>C</math>의 사상 <math>\psi_X\colon F(X)\to N</math>
이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 대상 <math>X,Y\in J</math> 및 사상 <math>F\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\psi_X=\psi_Y\circ F(f)</math>
[[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''쌍대극한'''은 다음 [[보편 성질]]을 만족시키는 쌍대뿔 <math>(L,(\phi_X)_{X\in J})</math>이다.
* 모든 <math>F</math>의 쌍대뿔 <math>(N,(\psi_X)_{X\in J})</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 <math>u\colon L\to N</math>이 존재한다.
** 모든 대상 <math>X\in J</math>에 대하여, <math>\psi_X=u\circ\phi_X</math>
<div style="text-align: center;">[[파일:Functor co-cone (extended).svg]]</div>

[[보편 성질]]에 따라, 주어진 함자의 쌍대극한은 유일한 [[동형]] 아래 유일하다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 '''약한 쌍대극한'''({{llang|en|weak colimit}})의 정의를 얻는다.

=== 끝 대상을 통한 정의 ===
만약 <math>J</math>가 [[작은 범주]]라면, [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''극한'''은 [[쉼표 범주]]
:<math>\operatorname{diag}_C^J\downarrow F^*</math>
의 [[끝 대상]]이다. 여기서
:<math>\operatorname{diag}_C^J\colon C\to C^J</math>
:<math>\operatorname{diag}_C^J(X)\colon j\mapsto X</math>
:<math>\operatorname{diag}_C^J(X)\colon(f\colon i\to j)\mapsto\operatorname{id}_X</math>
:<math>\operatorname{diag}_C^J(g\colon X\to Y)_j=g</math>
는 [[대각 함자]]이며,
:<math>F^*\colon 1\to C^J</math>
는 1의 유일한 대상의 상이 <math>F</math>인 [[상수 함자]]이다. [[끝 대상]]은 유일한 [[동형]] 아래 유일하므로, 극한은 유일한 [[동형]] 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 끝 대상을 통한 극한의 정의는 뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

만약 <math>J</math>가 [[작은 범주]]라면, [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''쌍대극한'''은 [[쉼표 범주]]
:<math>F^*\downarrow\operatorname{diag}_C^J</math>
의 [[시작 대상]]이다. [[시작 대상]]은 유일한 [[동형]] 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 [[동형]] 아래 유일하다. 함자의 정의역이 작은 범주인 경우, 시작 대상을 통한 쌍대극한의 정의는 쌍대뿔을 통한 정의의 재서술에 불과하다.

=== 표현을 통한 정의 ===
만약 <math>J</math>가 [[작은 범주]]라면, [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''극한'''은 다음 데이터로 구성된다.
* 대상 <math>L\in\operatorname{ob}(C)</math>
* [[자연 동형]] <math>\hom_C(X,L)\xrightarrow{\cong}\varprojlim_j\hom_C(X,F(j))</math> (<math>X\in\operatorname{ob}(C)</math>)
여기서 <math>\varprojlim</math>은 집합의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서의 극한이며, 이는 구체적으로 정의될 수 있다. [[표현 가능 함자]]의 표현은 유일한 [[동형]] 아래 유일하므로, 극한은 유일한 [[동형]] 아래 유일하다. 극한의 표현을 통한 정의와 뿔을 통한 정의의 동치는 [[요네다 보조정리]]에 의한다.

만약 <math>J</math>가 [[작은 범주]]라면, [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon J\to C</math>의 '''쌍대극한'''은 다음 데이터로 구성된다.
* 대상 <math>L\in\operatorname{ob}(C)</math>
* [[자연 동형]] <math>\hom_C(L,Y)\xrightarrow{\cong}\varprojlim_j\hom_C(F(j),Y)</math> (<math>Y\in\operatorname{ob}(C)</math>)
여기서 <math>\varprojlim</math>은 집합의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서의 극한이며 (쌍대극한이 아닌 데 주의하자), 이는 구체적으로 정의될 수 있다. [[표현 가능 함자]]의 표현은 유일한 [[동형]] 아래 유일하므로, 쌍대극한은 유일한 [[동형]] 아래 유일하다. 쌍대극한의 표현을 통한 정의와 쌍대뿔을 통한 정의의 동치는 [[요네다 보조정리]]에 의한다.

== 예 ==
특별한 경우에 붙은 이름은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! <math>J</math> !! <math>J</math>를 지표 범주로 하는 극한 !! <math>J^{\operatorname{op}}</math>를 지표 범주로 하는 쌍대극한
|-
! 공(空)범주
| [[끝 대상]] || [[시작 대상]]
|-
! 이산 범주
| [[곱 (범주론)|곱]] || [[쌍대곱]]
|-
! [[상향 원순서 집합]]
| [[사영 극한]]/역극한 || [[귀납적 극한]]/직접적 극한
|-
! <math>\cdot\rightrightarrows\cdot</math>
| [[동등자]] || [[쌍대동등자]]
|-
! <math>\cdot\rightarrow\cdot\leftarrow\cdot</math>
| [[당김 (범주론)|당김]] || [[밂 (범주론)|밂]]
|}

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Inductive limit}}
* {{eom|title=Projective limit}}
* {{eom|title=System (in a category)}}
* {{nlab|id=limit|title=Limit}}
* {{nlab|id=colimit|title=Colimit}}

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)| ]]