극성화와 반환 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''극성화'''(極性化, {{llang|en|polarization}})는 [[동차 다항식]]에 변수를 추가하여 다중 선형 다항식으로 변환시키는 연산이다. '''반환'''(返還, {{llang|en|restitution}})은 극성화의 반대 연산이며, 다중 선형 다항식을 동차 다항식으로 변환시킨다.

== 정의 ==
<math>p</math>가 <math>n</math>개의 변수에 대한 <math>d</math>차 [[동차 다항식]]이고, <math>R</math>는 [[계승 (수학)|계승]] <math>n!</math>이 [[가역원]]인 [[가환환]]이라고 하자. 그렇다면 <math>p</math>를 <math>R[x_1,\dots,x_n]</math>의 원소로 여길 수 있다. <math>p</math>의 '''극성화'''
:<math>\mathcal Pp\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots,x_{i,j},x_{i,j+1},\dots,x_{n,d}]</math>
는 다음과 같다.
:<math>\mathcal Pp(\dots,x_{i,j},\dots)=\frac1{d!}\frac{\partial}{\partial t_1}\cdots\frac{\partial}{\partial t_d}f\left(\dots,\sum_{j=1}^dt_jx_{i,j},\dots\right)</math>
극성화의 반대 연산은 '''반환'''이다. <math>nd</math>개의 변수를 갖는 다항식
:<math>P\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots,x_{i,j},\dots,x_{n,d}</math>
의 '''반환''' <math>\mathcal RP</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathcal RP\in R[x_1,\dots,x_n]</math>
:<math>\mathcal RP(x_1,\dots,x_n)=P(\overbrace{x_1,\dots,x_1}^d,\cdots,\overbrace{x_i,\dots,x_i}^d,\cdots,\overbrace{x_n,\dots,x_n}^d)</math>

== 성질 ==
<math>(x_{1,j},\dots,x_{n,j})=\mathbf x_j</math>라고 쓰자. 그렇다면, 각 <math>j</math>에 대하여 <math>\mathcal Pp</math>는 <math>\mathbf x_j</math>에 대한 [[선형 함수]]이다. 또한, <math>\mathcal Pp</math>는 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(d)</math>의 작용 (<math>\mathbf x_1,\dots,\mathbf x_d</math>의 [[순열]])에 대하여 불변이다.

<math>K</math>가 [[환의 표수|표수]]가 0인 [[체 (수학)|체]]라고 하고, <math>V</math>가 <math>n</math>차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이라고 하자. 그렇다면 [[다항식환]] <math>K[V]</math>은 차수에 따라 [[등급환]]이 된다.
:<math>K[V]=\bigoplus_{i=0}^\infty K[V]_i</math>
이 경우, 극성화는 표준적 [[동형사상]]
:<math>\mathcal P\colon K[V]_i\to\operatorname{Sym}^n(V^*)</math>
을 정의한다. 또한, 극성화는 <math>R[V]</math>의 [[대수 (환론)|<math>K</math>-대수]] 구조와 호환되므로, <math>K</math>-등급대수로서 다음과 같은 [[동형사상]]이 존재한다.
:<math>\mathcal P\colon K[V]\to\operatorname{Sym}(V^*)</math>

== 예 ==
1변수 단항식 <math>ax^d</math>에 대하여, 극성화는 [[항등 함수]]이다. 마찬가지로, [[선형 함수]] (<math>d=1</math>)에 대하여, 극성화는 [[항등 함수]]이다.

2변수 [[이차 형식]]
:<math>p(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2</math>
의 극성화는 다음과 같다.
:<math>\mathcal Pp(x_1,y_1,x_2,y_2)=ax_1x_2+b(x_1y_2+y_1x_2)+cy_1y_2</math>
2변수 3차 [[동차 다항식]]
:<math>p(x,y)=ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3</math>
의 극성화는 다음과 같다.
:<math>\mathcal Pp(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)=ax_1x_2x_3+b(y_1x_2x_3+x_1y_2x_3+x_1x_2y_3)+c(x_1y_2y_3+y_1x_2y_3+y_1y_2x_3)+dy_1y_2y_3</math>

== 응용 ==
극성화와 반환은 [[대수기하학]], 특히 [[불변량 이론]]에서 쓰인다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Lectures on invariant theory|이름=Igor V.|성=Dolgachev|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=296|출판사=Cambridge University Press|날짜=2003|doi=10.1017/CBO9780511615436|isbn=978-052152548-0|zbl=1023.13006|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:다항식]]
[[분류:대수기하학]]