극대 아이디얼 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''극대 아이디얼'''(極大ideal, {{llang|en|maximal ideal}})은 [[환 (수학)|환]] 전체가 아닌 [[아이디얼]]들의 [[극대 원소와 극소 원소|극대 원소]]이다.

== 정의 ==
=== 극대 부분 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 [[부분 가군]] <math>N\subseteq M</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[부분 가군]]을 '''극대 부분 가군'''(極大部分加群, {{llang|en|maximal submodule}})이라고 한다.
* <math>N\ne M</math>이며, <math>M</math>의 임의의 부분 가군 <math>N'\subseteq M</math>에 대하여, 만약 <math>N'\supseteq N</math>이라면 <math>N'=M</math>이거나 <math>N'=N</math>이다. 즉, <math>N</math>은 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(M)\setminus\{M\}</math>의 [[극대 원소와 극소 원소|극대 원소]]이다. (여기서 <math>\operatorname{Sub}(M)\setminus\{M\}</math>은 <math>M</math>의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 [[부분 순서 집합]]이다.)
* [[몫가군]] <math>M/N</math>은 [[단순 가군]]이다. (이 정의에서, [[영가군]]은 [[단순 가군]]이 아니다.)
마찬가지로, [[오른쪽 가군]]의 [[부분 가군]]에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. [[가군]] <math>_RM</math>의 극대 부분 가군들의 집합을 <math>\operatorname{Max}(_RM)</math>이라고 표기하자.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 [[교집합]]을 그 '''[[가군의 근기|근기]]'''라고 한다.

=== 극대 아이디얼 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, 1차 [[자유 왼쪽 가군]] <math>_RR</math>의 [[부분 가군]]은 [[왼쪽 아이디얼]]이며, <math>_RR</math>의 극대 부분 가군을 '''극대 왼쪽 아이디얼'''({{llang|en|maximal left ideal}})이라고 한다. 즉, [[왼쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak M\ne R</math>이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 <math>R</math>의 임의의 [[왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak M\subseteq\mathfrak A</math>라면 <math>\mathfrak A=R</math>이거나 <math>\mathfrak A=\mathfrak M</math>이라는 것이다. 마찬가지로 '''극대 오른쪽 아이디얼'''({{llang|en|maximal right ideal}})은 1차 [[자유 오른쪽 가군]] <math>R_R</math>의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 [[환 (수학)|환]]을 '''[[국소환]]'''이라 한다.

[[가환환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak m\subseteq R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이러한 아이디얼을 '''극대 아이디얼'''이라고 한다.
* 극대 왼쪽 아이디얼이다.
* 극대 오른쪽 아이디얼이다.
* <math>R/\mathfrak m</math>은 [[체 (수학)|체]]이다.
* [[환의 스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>의 [[자리스키 위상]]에서, <math>\{\mathfrak m\}</math>은 [[닫힌 집합]]이다.
즉, <math>\operatorname{Max}R\subseteq\operatorname{Spec}R</math>는 닫힌 점들로 구성된 [[부분 공간]]이다. 극대 아이디얼에 대한 [[몫환]]으로 얻어지는 체를 '''[[잉여류체]]'''라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 [[나눗셈환]]이 아닐 수 있다.

== 성질 ==
[[가환환]]의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아이디얼]] ⊇ [[반소 아이디얼]]  ∪  [[으뜸 아이디얼]] ⊇ [[반소 아이디얼]] ∩ [[으뜸 아이디얼]] = [[소 아이디얼]] ⊇ 극대 아이디얼
특히, 모든 극대 아이디얼은 [[소 아이디얼]]이다. [[주 아이디얼 정역]]에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 [[소 아이디얼|소]] [[주 아이디얼]]은 극대 아이디얼이다.

=== 존재 ===
'''크룰 정리'''({{llang|en|Krull’s theorem}})에 따르면, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의, [[영가군]]이 아닌 [[유한 생성 왼쪽 가군]] <math>_RM\ne0</math>은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, <math>\operatorname{Max}(_RM)</math>은 [[공집합]]이 아니다.
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[초른 보조정리]]를 사용하자. 그렇다면, [[공집합]]이 아닌 임의의 [[전순서 집합]] <math>\mathcal S\subseteq\operatorname{Sub}(_RM)\setminus\{M\}</math>에 대하여,
:<math>A=\bigcup_{S\in\mathcal S}S</math>
를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다.
* <math>A</math>는 <math>M</math>-[[부분 가군]]이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
** 증명: 임의의 <math>a,a'\in A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>a\in S</math> 및 <math>a'\in S'</math>이 되는 <math>S,S'\in\mathcal S</math>를 찾을 수 있다. 그렇다면 <math>a,a'\in\max\{S,S'\}</math>이므로 <math>a+a'\in\max\{S,S'\}\subseteq A</math>이다.
* <math>A\ne M</math>이다.
** 증명: <math>M</math>이 [[유한 생성 왼쪽 가군]]이므로, <math>Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M</math>이 되는 <math>m_1,\dots,m_k\in M</math>을 찾을 수 있다. [[귀류법]]을 사용하자. 만약 <math>A=M</math>이라면, <math>m_i\in S_i</math>가 되는 <math>S_1,\dots,S_k\in\mathcal S</math>를 찾을 수 있는데, 이 경우 <math>M=\max\{S_1,\dots,S_k\}\in\mathcal S</math>이 되며, 이는 모순이다.
</div>
</div>
또한, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의, [[영가군]]이 아닌 [[사영 왼쪽 가군]] <math>_RM\ne0</math>은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, [[사영 덮개]]를 갖는 [[왼쪽 가군]]은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 그 [[사영 덮개]] <math>_RP</math>의 [[잉여적 부분 가군]] <math>S\subseteq P</math>에 대한 [[몫가군]] <math>M\cong P/S</math>이며, 모든 [[잉여적 부분 가군]]은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.)

특히, [[자유 왼쪽 가군]] <math>_RR</math>는 [[사영 왼쪽 가군]]이자 [[유한 생성 왼쪽 가군]]이며, <math>R</math>가 [[자명환]]이 아니라면 [[영가군]]이 아니다. 따라서, <math>R</math>는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

(위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.)

크룰 정리는 [[유한 생성 가군]]이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다.

환 <math>R</math>의 모든 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 [[충분조건]]들은 다음을 들 수 있다.
* 모든 [[단순 왼쪽 가군]]의 [[단사 껍질]]은 [[뇌터 가군]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Rings whose modules have maximal submodules|이름=Carl|성=Faith|저널=Publicacions Matemàtiques|권=39|호=1|날짜=1995|쪽=201–204|doi=10.5565/PUBLMAT_39195_12|issn=0210-2978|mr=1336364|언어=en}}</ref>{{rp|Corollary 1.1}}
* <math>M</math>의 모든 [[왼쪽 가군]]은 [[사영 덮개]]를 갖는다. (특히, [[왼쪽 아르틴 환]]에 대하여 이 조건이 성립한다.)

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 극대 아이디얼들은 소수 <math>p</math>에 대한 [[주 아이디얼]] <math>(p)</math>이다.

[[체 (수학)|체]]의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 <math>\{0\}</math>밖에 없다.

'''[[힐베르트 영점 정리]]'''에 따르면, [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[다항식환]] <math>K[x_1,x_2,\dots,x_k]</math>의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 [[아이디얼]]이다.
:<math>(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_k-a_k)\qquad(a_1,\dots,a_k\in K)</math>

=== 극대 부분 가군을 갖지 않는 가군 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 [[가군]] <math>_{\mathbb Z}\mathbb Q</math> ([[유리수]]의 덧셈 [[아벨 군]])을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

== 역사 ==
크룰 정리는 [[볼프강 크룰]]이 1929년에 [[초한 귀납법]]을 사용하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung|이름=Wolfgang|성=Krull|저자링크=볼프강 크룰|doi=10.1007/BF01454872|저널=Mathematische Annalen|날짜=1929|권=101|쪽=729–744|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002273489|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[소 아이디얼]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Maximal ideal}}
* {{매스월드|id=MaximalIdeal|title=Maximal ideal}}
* {{nlab|id=maximal ideal|title=Maximal ideal}}
* {{nlab|id=maximal ideal theorem|title=Maximal ideal theorem}}
* {{nlab|id=maximal spectrum|title=Maximal spectrum}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Maximal_ideal|제목=Maximal ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Intersection_of_maximal_ideals|제목=Maximal ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Maximal_implies_prime|제목=Maximal implies prime|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Every_proper_ideal_is_contained_in_a_maximal_ideal|제목=Every proper ideal is contained in a maximal ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Maximal_Ideal|제목=Definition: maximal ideal|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Maximal_Spectrum_of_Ring|제목=Definition: maximal spectrum of ring|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:아이디얼]]
[[분류:가군론]]